正交矩阵

• $UU^T=U^TU=I$，且$U$是实数向量，则U是正交矩阵。可知$U$的行（列）向量都是单位范数并且正交的。$det(U)=1 or -1$

• 行列式为+1的n维正交矩阵可以看作是n维旋转

• 正交矩阵的保范性质：$(Ux)^T(Ux)=x^Tx$

• 基变换矩阵：
  $(\beta_1,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n) \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12} & ...&a_{1n} \\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{m1}& a_{m2} & ...&a_{mn} \end{bmatrix}=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)A$

  $X$是在基$\alpha$下的坐标，Y是在基$\beta$下的坐标，则$Y=A^{-1}X$

  证明：$\alpha X=\beta Y=\alpha A Y$，所以$Y=A^{-1}X$

可以看出，坐标轴整体旋转$\Rightarrow$基变换矩阵是正交矩阵(+1)$\Rightarrow$坐标左乘正交矩阵(+1)。

• Givens旋转和RQ分解
  RQ分解是A=RQ，R是上三角矩阵，Q是正交矩阵。
  Givens旋转：
  

  $$Q_x=\begin{bmatrix} 1&& \\ &c&-s \\ &s&-c\end{bmatrix}， Q_y=\begin{bmatrix} c&&s \\ &1& \\ -s&&c\end{bmatrix}， Q_z=\begin{bmatrix} c&-s& \\ s&c& \\ &&1\end{bmatrix}$$
  其中，$c=cos(\theta)，s=sin(\theta)$。旋转方向都是逆时针，分别是y->z，z->x，x->y。之所以,$Q_y$有所不同是因为（x，y，z）的坐标现后顺序。
  分解步骤：（1）$AQ_x$使$A_{32}=0$；（2）$AQ_xQ_y$使$A_{31}=0$；（3）$AQ_xQ_yQ_z$使$A_{21}=0$

• Householder矩阵和QR分解
  
  
  

采用Householder矩阵作矩阵乘法时，应利用矩阵的特殊形式来加速计算