题:设随机变量 独立同分布且具有相同的分布函数,证明:
证明:
在以下证明中假设f(x), F(x) 分别为 共同的概率密度和分布函数
步骤一: 大于 到 中的全部值也就是说对于任意一个 均小于 ,所以原式可以写成
即, 。
步骤二:由于所有的随机变量都服从相同的分布,如下图所示,当 在 这一点时,其他随机变量均可以取小于 的任意值 (即蓝线以下,横坐标轴以上,和红线以左的区域)。
所以对于每一个随机变量 , 可以表示为:
所以步骤一中的概率就可以表示为:
步骤三:积分和简化上面的式子。由于f(x), F(x) 分别为 共同的概率密度和分布函数,所以
所以上式中括号内相当于n-1个 相乘,所以式子等于
步骤四:最后的积分。由于 , 上面的积分即可写成:
步骤五:对于分布函数,从负无穷到正无穷的积分为零,所以上面函数就等于 .