一.pandas与建模代码的结合
pandas与其它分析库通常是靠NumPy的数组联系起来的。将DataFrame转换为NumPy数组，可以使用.values属性：
import pandas as pd
import numpy as np
data = pd.DataFrame({'x0': [1, 2, 3, 4, 5],
'x1': [0.01, -0.01, 0.25, -4.1, 0.],
'y': [-1.5, 0., 3.6, 1.3, -2.]})
data
| x0 | x1 | y | |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0.01 | -1.5 |
| 1 | 2 | -0.01 | 0.0 |
| 2 | 3 | 0.25 | 3.6 |
| 3 | 4 | -4.10 | 1.3 |
| 4 | 5 | 0.00 | -2.0 |
data.columns
Index(['x0', 'x1', 'y'], dtype='object')
data.values
array([[ 1. , 0.01, -1.5 ],
[ 2. , -0.01, 0. ],
[ 3. , 0.25, 3.6 ],
[ 4. , -4.1 , 1.3 ],
[ 5. , 0. , -2. ]])
要转换回DataFrame，可以传递一个二维ndarray，可带有列名：
df2 = pd.DataFrame(data.values, columns=['one', 'two', 'three'])
df2
| one | two | three | |
|---|---|---|---|
| 0 | 1.0 | 0.01 | -1.5 |
| 1 | 2.0 | -0.01 | 0.0 |
| 2 | 3.0 | 0.25 | 3.6 |
| 3 | 4.0 | -4.10 | 1.3 |
| 4 | 5.0 | 0.00 | -2.0 |
一般当数据是同构化的时候使用.values属性。例如，全是数字类型。如果数据是异构化的，结果会是Python对象的ndarray：
df3 = data.copy()
df3['strings'] = ['a', 'b', 'c', 'd', 'e']
df3
| x0 | x1 | y | strings | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0.01 | -1.5 | a |
| 1 | 2 | -0.01 | 0.0 | b |
| 2 | 3 | 0.25 | 3.6 | c |
| 3 | 4 | -4.10 | 1.3 | d |
| 4 | 5 | 0.00 | -2.0 | e |
df3.values
array([[1, 0.01, -1.5, 'a'],
[2, -0.01, 0.0, 'b'],
[3, 0.25, 3.6, 'c'],
[4, -4.1, 1.3, 'd'],
[5, 0.0, -2.0, 'e']], dtype=object)
对于一些模型，你可能只想使用列的子集。我建议你使用loc和values作索引：
model_cols = ['x0', 'x1']
data.loc[:, model_cols].values
array([[ 1. , 0.01],
[ 2. , -0.01],
[ 3. , 0.25],
[ 4. , -4.1 ],
[ 5. , 0. ]])
一些库对pandas有本地化支持，会自动完成工作：从DataFrame转换到NumPy中并将模型的参数名添加到输出表的列或Series。其它情况，你可以手工进行“元数据管理”。
之前我们学习了pandas的Categorical类型和pandas.get_dummies函数。假设数据集中有一个非数值列：
data['category'] = pd.Categorical(['a', 'b', 'a', 'a', 'b'],
categories=['a', 'b'])
data
| x0 | x1 | y | category | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0.01 | -1.5 | a |
| 1 | 2 | -0.01 | 0.0 | b |
| 2 | 3 | 0.25 | 3.6 | a |
| 3 | 4 | -4.10 | 1.3 | a |
| 4 | 5 | 0.00 | -2.0 | b |
如果我们想替换category列为虚变量，我们可以创建虚变量，删除category列，然后添加到结果：
dummies = pd.get_dummies(data.category, prefix='category')
data_with_dummies = data.drop('category', axis=1).join(dummies)
data_with_dummies
| x0 | x1 | y | category_a | category_b | |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0.01 | -1.5 | 1 | 0 |
| 1 | 2 | -0.01 | 0.0 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | 0.25 | 3.6 | 1 | 0 |
| 3 | 4 | -4.10 | 1.3 | 1 | 0 |
| 4 | 5 | 0.00 | -2.0 | 0 | 1 |
用虚变量拟合某些统计模型会有一些细微差别。当你不只有数字列时，使用Patsy（下一节的主题）可能更简单，更不容易出错。
二.使用patsy创建模型描述
Patsy能够很好的支持statsmodels中特定的线性模型，因此我会关注于它的主要特点，让你尽快掌握。Patsy的公式是一个特殊的字符串语法，如下所示：
y ~ x0 + x1
a+b不是将a与b相加的意思，而是为模型创建的设计矩阵。patsy.dmatrices函数接收一个公式字符串和一个数据集（可以是DataFrame或数组的字典），为线性模型创建设计矩阵：
data = pd.DataFrame({'x0': [1, 2, 3, 4, 5],
'x1': [0.01, -0.01, 0.25, -4.1, 0.],
'y': [-1.5, 0., 3.6, 1.3, -2.]})
data
| x0 | x1 | y | |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0.01 | -1.5 |
| 1 | 2 | -0.01 | 0.0 |
| 2 | 3 | 0.25 | 3.6 |
| 3 | 4 | -4.10 | 1.3 |
| 4 | 5 | 0.00 | -2.0 |
import patsy
y, X = patsy.dmatrices('y ~ x0 + x1', data)
y
DesignMatrix with shape (5, 1)
y
-1.5
0.0
3.6
1.3
-2.0
Terms:
'y' (column 0)
X
DesignMatrix with shape (5, 3)
Intercept x0 x1
1 1 0.01
1 2 -0.01
1 3 0.25
1 4 -4.10
1 5 0.00
Terms:
'Intercept' (column 0)
'x0' (column 1)
'x1' (column 2)
这些Patsy的DesignMatrix实例是NumPy的ndarray，带有附加元数据：
np.asarray(y)
array([[-1.5],
[ 0. ],
[ 3.6],
[ 1.3],
[-2. ]])
np.asarray(X)
array([[ 1. , 1. , 0.01],
[ 1. , 2. , -0.01],
[ 1. , 3. , 0.25],
[ 1. , 4. , -4.1 ],
[ 1. , 5. , 0. ]])
你可能想Intercept(截距)这个名词列是哪里来的。这是线性模型（比如普通最小二乘回归）的惯例用法。可以通过给模型添加名词列 +0来不显示截距：
patsy.dmatrices('y ~ x0 + x1 + 0', data)[1]
DesignMatrix with shape (5, 2)
x0 x1
1 0.01
2 -0.01
3 0.25
4 -4.10
5 0.00
Terms:
'x0' (column 0)
'x1' (column 1)
Patsy对象可以直接传递一些算法，比如numpy.linalg.lstsq等，这些算法都会执行一个最小二乘回归：
coef, resid, _, _ = np.linalg.lstsq(X, y)
C:\Users\Administrator\Anaconda3\lib\site-packages\ipykernel_launcher.py:1: FutureWarning: `rcond` parameter will change to the default of machine precision times ``max(M, N)`` where M and N are the input matrix dimensions.
To use the future default and silence this warning we advise to pass `rcond=None`, to keep using the old, explicitly pass `rcond=-1`.
"""Entry point for launching an IPython kernel.
模型的元数据保留在design_info属性中，因此你可以重新附加列名到拟合系数，以获得一个Series，例如：
coef
array([[ 0.31290976],
[-0.07910564],
[-0.26546384]])
coef = pd.Series(coef.squeeze(), index=X.design_info.column_names)
coef
Intercept 0.312910
x0 -0.079106
x1 -0.265464
dtype: float64
2.1Patsy公式中的数据转换
你可以将Python代码与patsy公式结合。在执行公式时，库将尝试查找在封闭作用域内使用的函数：
y, X = patsy.dmatrices('y ~ x0 + np.log(np.abs(x1) + 1)', data)
X
DesignMatrix with shape (5, 3)
Intercept x0 np.log(np.abs(x1) + 1)
1 1 0.00995
1 2 0.00995
1 3 0.22314
1 4 1.62924
1 5 0.00000
Terms:
'Intercept' (column 0)
'x0' (column 1)
'np.log(np.abs(x1) + 1)' (column 2)
常见的变量转换包括标准化（平均值为0，方差为1）和中心化（减去平均值）。Patsy有内置的函数进行这样的工作：
y, X = patsy.dmatrices('y ~ standardize(x0) + center(x1)', data)
X
DesignMatrix with shape (5, 3)
Intercept standardize(x0) center(x1)
1 -1.41421 0.78
1 -0.70711 0.76
1 0.00000 1.02
1 0.70711 -3.33
1 1.41421 0.77
Terms:
'Intercept' (column 0)
'standardize(x0)' (column 1)
'center(x1)' (column 2)
patsy.build_design_matrices函数可以使用原始样本数据集的保存信息，来转换新数据：
new_data = pd.DataFrame({'x0': [6, 7, 8, 9],
'x1': [3.1, -0.5, 0, 2.3],
'y': [1, 2, 3, 4]})
new_X = patsy.build_design_matrices([X.design_info], new_data)
new_X
[DesignMatrix with shape (4, 3)
Intercept standardize(x0) center(x1)
1 2.12132 3.87
1 2.82843 0.27
1 3.53553 0.77
1 4.24264 3.07
Terms:
'Intercept' (column 0)
'standardize(x0)' (column 1)
'center(x1)' (column 2)]
因为Patsy中的加号不是加法的意义，当你按照名称将数据集的列相加时，你必须用特殊I函数将它们封装起来：
y, X = patsy.dmatrices('y ~ I(x0 + x1)', data)
X
DesignMatrix with shape (5, 2)
Intercept I(x0 + x1)
1 1.01
1 1.99
1 3.25
1 -0.10
1 5.00
Terms:
'Intercept' (column 0)
'I(x0 + x1)' (column 1)
2.2分类数据与Patsy
非数值数据可以用多种方式转换为模型设计矩阵。完整的讲解超出了本书范围，最好和统计课一起学习。
当你在Patsy公式中使用非数值数据，它们会默认转换为虚变量。如果有截距，会去掉一个，避免共线性：
data = pd.DataFrame({
'key1': ['a', 'a', 'b', 'b', 'a', 'b', 'a', 'b'],
'key2': [0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0],
'v1': [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8],
'v2': [-1, 0, 2.5, -0.5, 4.0, -1.2, 0.2, -1.7]})
y, X = patsy.dmatrices('v2 ~ key1', data)
X
DesignMatrix with shape (8, 2)
Intercept key1[T.b]
1 0
1 0
1 1
1 1
1 0
1 1
1 0
1 1
Terms:
'Intercept' (column 0)
'key1' (column 1)
如果你从模型中忽略截距，每个分类值的列都会包括在设计矩阵的模型中：
y, X = patsy.dmatrices('v2 ~ key1 + 0', data)
X
DesignMatrix with shape (8, 2)
key1[a] key1[b]
1 0
1 0
0 1
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
Terms:
'key1' (columns 0:2)
数字类型列可以使用C函数解释为分类函数：
y, X = patsy.dmatrices('v2 ~ C(key2)', data)
X
DesignMatrix with shape (8, 2)
Intercept C(key2)[T.1]
1 0
1 1
1 0
1 1
1 0
1 1
1 0
1 0
Terms:
'Intercept' (column 0)
'C(key2)' (column 1)
当你在模型中使用多个分类名，事情就会变复杂，因为会包括key1:key2形式的相交部分，它可以用在方差（ANOVA）模型分析中：
data['key2'] = data['key2'].map({0: 'zero', 1: 'one'})
data
| key1 | key2 | v1 | v2 | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | a | zero | 1 | -1.0 |
| 1 | a | one | 2 | 0.0 |
| 2 | b | zero | 3 | 2.5 |
| 3 | b | one | 4 | -0.5 |
| 4 | a | zero | 5 | 4.0 |
| 5 | b | one | 6 | -1.2 |
| 6 | a | zero | 7 | 0.2 |
| 7 | b | zero | 8 | -1.7 |
y, X = patsy.dmatrices('v2 ~ key1 + key2', data)
X
DesignMatrix with shape (8, 3)
Intercept key1[T.b] key2[T.zero]
1 0 1
1 0 0
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 1 0
1 0 1
1 1 1
Terms:
'Intercept' (column 0)
'key1' (column 1)
'key2' (column 2)
y, X = patsy.dmatrices('v2 ~ key1 + key2 + key1:key2', data)
X
DesignMatrix with shape (8, 4)
Intercept key1[T.b] key2[T.zero] key1[T.b]:key2[T.zero]
1 0 1 0
1 0 0 0
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 1 1
Terms:
'Intercept' (column 0)
'key1' (column 1)
'key2' (column 2)
'key1:key2' (column 3)
三.statsmodels介绍
statsmodels是Python进行拟合多种统计模型、进行统计试验和数据探索可视化的库。Statsmodels包含许多经典的统计方法，但没有贝叶斯方法和机器学习模型。
3.1评估线性模型
statsmodels有多种线性回归模型，包括从基本（比如普通最小二乘）到复杂（比如迭代加权最小二乘法）的。
statsmodels的线性模型有两种不同的接口：基于数组和基于公式。它们可以通过API模块引入：
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
为了展示它们的使用方法，我们从一些随机数据生成一个线性模型：
def dnorm(mean, variance, size=1):
if isinstance(size, int):
size = size,
return mean + np.sqrt(variance) * np.random.randn(*size)
np.random.seed(12345)
N = 100
X = np.c_[dnorm(0, 0.4, size=N),
dnorm(0, 0.6, size=N),
dnorm(0, 0.2, size=N)]
eps = dnorm(0, 0.1, size=N)
beta = [0.1, 0.3, 0.5]
y = np.dot(X, beta) + eps
这里，我使用了“真实”模型和可知参数beta。此时，dnorm可用来生成正态分布数据，带有特定均值和方差。现在有：
X[:5]
array([[-0.12946849, -1.21275292, 0.50422488],
[ 0.30291036, -0.43574176, -0.25417986],
[-0.32852189, -0.02530153, 0.13835097],
[-0.35147471, -0.71960511, -0.25821463],
[ 1.2432688 , -0.37379916, -0.52262905]])
像之前Patsy看到的，线性模型通常要拟合一个截距。sm.add_constant函数可以添加一个截距的列到现存的矩阵：
X_model = sm.add_constant(X)
X_model[:5]
array([[ 1. , -0.12946849, -1.21275292, 0.50422488],
[ 1. , 0.30291036, -0.43574176, -0.25417986],
[ 1. , -0.32852189, -0.02530153, 0.13835097],
[ 1. , -0.35147471, -0.71960511, -0.25821463],
[ 1. , 1.2432688 , -0.37379916, -0.52262905]])
sm.OLS类可以拟合一个普通最小二乘回归：
model = sm.OLS(y, X)
这个模型的fit方法返回了一个回归结果对象，它包含估计的模型参数和其它内容：
results = model.fit()
results.params
array([0.17826108, 0.22303962, 0.50095093])
对结果使用summary方法可以打印模型的详细诊断结果：
print(results.summary())
OLS Regression Results
=======================================================================================
Dep. Variable: y R-squared (uncentered): 0.430
Model: OLS Adj. R-squared (uncentered): 0.413
Method: Least Squares F-statistic: 24.42
Date: Sun, 14 Jun 2020 Prob (F-statistic): 7.44e-12
Time: 10:04:35 Log-Likelihood: -34.305
No. Observations: 100 AIC: 74.61
Df Residuals: 97 BIC: 82.42
Df Model: 3
Covariance Type: nonrobust
==============================================================================
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------
x1 0.1783 0.053 3.364 0.001 0.073 0.283
x2 0.2230 0.046 4.818 0.000 0.131 0.315
x3 0.5010 0.080 6.237 0.000 0.342 0.660
==============================================================================
Omnibus: 4.662 Durbin-Watson: 2.201
Prob(Omnibus): 0.097 Jarque-Bera (JB): 4.098
Skew: 0.481 Prob(JB): 0.129
Kurtosis: 3.243 Cond. No. 1.74
==============================================================================
Warnings:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
这里的参数名为通用名x1, x2等等。假设所有的模型参数都在一个DataFrame中：
data = pd.DataFrame(X, columns=['col0', 'col1', 'col2'])
data['y'] = y
data[:5]
| col0 | col1 | col2 | y | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | -0.129468 | -1.212753 | 0.504225 | 0.427863 |
| 1 | 0.302910 | -0.435742 | -0.254180 | -0.673480 |
| 2 | -0.328522 | -0.025302 | 0.138351 | -0.090878 |
| 3 | -0.351475 | -0.719605 | -0.258215 | -0.489494 |
| 4 | 1.243269 | -0.373799 | -0.522629 | -0.128941 |
现在，我们使用statsmodels的公式API和Patsy的公式字符串：
results = smf.ols('y ~ col0 + col1 + col2', data=data).fit()
results.params
Intercept 0.033559
col0 0.176149
col1 0.224826
col2 0.514808
dtype: float64
results.tvalues
Intercept 0.952188
col0 3.319754
col1 4.850730
col2 6.303971
dtype: float64
观察下statsmodels是如何返回Series结果的，附带有DataFrame的列名。当使用公式和pandas对象时，我们不需要使用add_constant。
给出一个样本外数据，你可以根据估计的模型参数计算预测值：
results.predict(data[:5])
0 -0.002327
1 -0.141904
2 0.041226
3 -0.323070
4 -0.100535
dtype: float64
3.2评估时间序列处理
statsmodels的另一模型类是进行时间序列分析，包括自回归过程、卡尔曼滤波和其它态空间模型，和多元自回归模型。
用自回归结构和噪声来模拟一些时间序列数据：
init_x = 4
import random
values = [init_x, init_x]
N = 1000
b0 = 0.8
b1 = -0.4
noise = dnorm(0, 0.1, N)
for i in range(N):
new_x = values[-1] * b0 + values[-2] * b1 + noise[i]
values.append(new_x)
这个数据有AR(2)结构（两个延迟），参数是0.8和-0.4。拟合AR模型时，你可能不知道滞后项的个数，因此可以用更大的滞后数来拟合这个模型：
MAXLAGS = 5
model = sm.tsa.AR(values)
results = model.fit(MAXLAGS)
结果中的估计参数首先是截距，其次是前两个参数的估计值：
results.params
array([-0.00616093, 0.78446347, -0.40847891, -0.01364148, 0.01496872,
0.01429462])