【基础】透视校正插值(Perspective-Correct Interpolation)

参考

参考博客1
参考博客2

这个问题之前好长时间都没有弄明白，主要原因是没有搞清为什么需要这个方法，今天静下心来仔细看了几篇资料终于想清楚了。这篇博客也主要讲我对透视校正插值前因后果的理解，具体的数学推导可以看上面的参考文章。

在光栅化阶段我们需要对顶点坐标和定义在顶点上的属性(法线、uv等等)进行插值，产生一系列的片元以及定义在片元上的属性。现在有点A(X_A，Y_A，Z_A)和点B(X_B，Y_B，Z_B)，以及定义在A上的属性I_A和B上的属性I_B。现在AB上有一点C(X_C，Y_C，Z_C)，需要求得C上的属性I_C。线性插值的方法就是通过ABC的坐标求出插值系数s，即C=s*A+(1-s)*B，那么I_C=s*I_A+(1-s)*I_B。这里的I可以是任何需要插值的顶点属性（顶点着色器的输出），如颜色、法线、纹理坐标等等。

这种插值方法显然在线性空间中是正确的，但我们的问题是当需要对顶点属性进行插值时，我们已经进入了光栅化阶段，早就将坐标转化到非线性空间中了，这时如果直接用线性插值就会出问题。

先复习一下管线中的部分坐标变换流程。

注意projection矩阵在透视投影下是一个非线性变换矩阵，也就是裁剪空间、NDC、屏幕空间中的坐标都是非线性空间下的坐标。如果用非线性空间的坐标来计算插值比s，使用s对顶点属性插值就会得到错误的结果。

常见的例子就是屏幕上一条线段的中点，往往在实际的场景中并非是真正的中点。如下图在投影平面上c是ab的中点，但实际上C在线段AB中的位置较靠近B。设顶点属性I_A=0，I_B=1，我们希望插值所得的I_C大概是0.7左右，但如果我们如果直接用线性插值来计算C的属性就只能得到I_C=0.5的错误结果。

透视校正插值使用线性的深度值和非线性空间下的插值系数s来计算出线性空间下的插值系数t，并用t来对顶点属性进行插值。说的明白点，在上图中就相当于我们需要知道点A和点B距离投影平面的距离(线性深度)，以及投影面上线段ac和bc的长度比(非线性空间下的插值系数，在上图例子中就是1：1)，然后我们就可以经过一系列数学推导得到真实场景中AC和BC长度的比值，通过这个比值我们就可以进行正确的线性插值得到C的属性了。

【下面这段仅供参考，不能保证准确】
在光栅化阶段中我们是如何访问到线性空间下的深度值的呢？注意我们要的是线性的深度值，在光栅化阶段，顶点坐标的Z分量虽然记录了顶点的深度值，但并不是一个线性的深度值，它维持了线性深度的大小关系来保证深度检测正常，但对我们的透视矫正插值并没有帮助。这里我们就要注意顶点坐标的w分量了。我们将相机空间的坐标记为(x_view,y_view,z_view,w_view)，裁剪空间下的坐标记为(x_clip,y_clip,z_clip,w_clip)，根据projection矩阵可知：w_clip=-z_view，相当于裁剪空间坐标的w分量记录了相机空间下顶点的深度值，而相机空间下的深度是线性的。w_clip最重要的作用是在齐次除法中担任分母，而在做完齐次除法后这个分量并没有被丢弃，而是保留下来供透视校正插值使用。所以，在光栅化阶段顶点坐标的xyz分量都进入了非线性空间时，W分量仍保留了顶点的线性深度。

我们设点A的深度为Z₁，点B的深度为Z₂。C为AB上的插值点，投影面上的插值比为s。我们的目标根据Z₁、Z₂、s来求得线性空间下的插值比t，再根据t对顶点属性进行插值，即存在一个函数f使得I_t=f(Z₁,Z₂,s,I₁,I₂)。

数学推导过程参考这篇博客。最后得出的插值公式如下：