【数学】三分法

Definition

当一个函数\(f(x)\)满足在区间在区间\([l,r]\)内有且仅有一个\(x~\in~[l,r]~,~s.t.~~f(x)\)在\([l,x]\)内单调严格递增，在\([x,r]\)内单调严格递减，则说\(f(x)\)在\([l,r]\)内是一个单峰函数，求出单峰点\(x\)的算法为三分法。

Solution

考虑对一个区间\([l,r]\)，取三等分点，记做\(midl\)和\(midr\)。不妨设\(midl~<~midr\)，则若\(f(midl)~\leq~f(midr)\)，则单峰点一定在区间\([midl，r]\)范围内。反之单峰点一定在区间\([l,midr]\)范围内。

证明：

首先设\(f(midl)~<~f(midr)\)，

以下说明\(midl\)一定不在单峰点右侧。

若\(midl\)在单峰点右侧，则\(\forall~x_0~\in~(midl,r]\)，都有\(f(x_0)~<~f(x)\)。因为\(midr~>~midl\)且\(f(midr)~>~f(midl)\)，于是产生矛盾。故可说明\(midl\)一定不再单峰点右侧。

当\(f(midl)~>~f(midr)\)时，证明同上。

再设\(f(midl)~=~f(midr)\)，

以下说明单峰点一定在\([midl,midr]\)之间

假设\(midl\)和\(midr\)同在单峰点一侧，则\(f(x)\)在区间\([midl,midr]\)上严格单调，而\(f(midl)~=~f(midr)\)，产生矛盾。于是单峰点一定在\([midl,midr]\)之间。

证毕

于是在\([l,r]\)内取两个三等分点(在代码中使用黄金分割点)，比较两点函数值大小，对函数值较小的一侧缩小区间即可。

Example

传送门

Description

给出一个\(N\)次函数，保证在范围\([l,r]\)内存在一点\(x\)，使得\([l,x]\)上单调增，\([x,r]\)上单调减。试求出\(x\)的值。

Input

第一行一次包含一个正整数N和两个实数\(l,r\)，含义如题目描述所示。

第二行包含\(N+1\)个实数，从高到低依次表示该\(N\)次函数各项的系数。

Output

输出为一行，包含一个实数，即为\(x\)的值。四舍五入保留5位小数。

Hintt

\(forall:\)

\(7~\leq~n~\leq~13~,~|A_i|~<10\)。其中\(|A_i|\)为系数

Solution

板子题要啥solution

Code

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define rg register
#define ci const int
#define cl const long long

typedef long double ldb;
typedef long long int ll;

template <typename T>
inline void qr(T &x) {
    rg char ch=getchar(),lst=' ';
    while((ch > '9') || (ch < '0')) lst=ch,ch=getchar();
    while((ch >= '0') && (ch <= '9')) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    if(lst == '-') x=-x;
}

namespace IO {
    char buf[120];
}

template <typename T>
inline void qw(T x,const char aft,const bool pt) {
    if(x < 0) {x=-x,putchar('-');}
    rg int top=0;
    do {IO::buf[++top]=x%10+'0';} while(x/=10);
    while(top) putchar(IO::buf[top--]);
    if(pt) putchar(aft);
}

inline void readldb(long double &x) {
    double _temp;
    scanf("%lf",&_temp);
    x=_temp;
}

inline void printldb(const long double &x) {
    double _ret=x;
    printf("%.5lf\n",_ret);
}

const int maxn = 20;
const long double eps = 1e-10l;
const long double mul = 0.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374l;

int n;
ldb MU[maxn];

ldb ask(ldb);

int main() {
    qr(n);
    ldb l,r;readldb(l);readldb(r);
    for(rg int i=0;i<=n;++i) readldb(MU[i]);
    while((r-l) >= eps) {
        ldb midl=r-(r-l)*mul,midr=l+(r-l)*mul;
        ldb ansl=ask(midl),ansr=ask(midr);
        if(ansl >= ansr) r=midr-eps;
        else l=midl+eps;
    }
    printldb(l);
    return 0;
}

ldb ask(ldb x) {
    ldb _ret=0,_dx=1;
    for(rg int i=n;~i;--i) _ret+=MU[i]*_dx,_dx*=x;
    return _ret;
}

Summary

当且仅当在单峰点两侧严格单调才能作为单峰函数处理。