本系列是这本算法教材的扩展资料：《算法竞赛入门到进阶》. 罗勇军、郭卫斌. 清华大学出版社
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二分法和三分法是算法竞赛中常见的算法思路，本文介绍了它们的理论背景、模板代码、典型题目。
1. 二分法的理论背景
在《计算方法》教材中，关于非线性方程的求根问题，有一种是二分法。
方程求根是常见的数学问题，满足方程：
f(x) = 0 (1-1)
的数x’称为方程(1-1)的根。
所谓非线性方程，是指f(x)中含有三角函数、指数函数或其他超越函数。这种方程，很难或者无法求得精确解。不过，在实际应用中，只要得到满足一定精度要求的近似解就可以了，此时，需要考虑2个问题：
（1）根的存在性。用这个定理判定：设函数在闭区间[a, b]上连续，且f(a) ∙ f(b) < 0,则f(x) = 0存在根。
（2）求根。一般有两种方法：搜索法、二分法。
搜索法：把区间[a, b]分成n等份，每个子区间长度是∆x，计算点xk = a + k∆x (k=0,1,2,3,4,…,n)的函数值f(xk)，若f(xk) = 0，则是一个实根，若相邻两点满足f(xk) ∙ f(xk+1) < 0，则在(xk, xk+1)内至少有一个实根，可以取(xk+ xk+1)/2为近似根。
二分法：如果确定f(x)在区间[a, b]内连续，且f(a) ∙ f(b) < 0，则至少有一个实根。二分法的操作，就是把[a, b]逐次分半，检查每次分半后区间两端点函数值符号的变化，确定有根的区间。
什么情况下用二分？两个条件：上下界[a, b]确定、函数在[a, b]内单调。
复杂度：经过n次二分后，区间会缩小到(b - a)/2n。给定a、b和精度要求ε，可以算出二分次数n，即满足(b - a)/2n <ε。所以，二分法的复杂度是O(logn)的。例如，如果函数在区间[0, 100000]内单调变化，要求根的精度是10-8，那么二分次数是44次。
二分非常高效。所以，如果问题是单调性的，且求解精确解的难度很高，可以考虑用二分法。
在算法竞赛题目中，有两种题型：整数二分、实数二分。整数域上的二分，注意终止边界、左右区间的开闭情况，避免漏掉答案或者死循环。实数域上的二分，需要注意精度问题。
2. 整数二分模板
2.1 基本形式
先看一个简单问题：在有序数列a[]中查找某个数x；如果数列中没有x，找它的后继。通过这个问题，给出二分法的基本代码。
如果有x，找第一个x的位置；如果没有x，找比x大的第一个数的位置。
示例：a[] = {-12,-6,-4,3,5,5,8,9}，其中有n = 8个数，存储在a[0]～a[7]。
1)查找x = -5，返回位置2，指向a[2] = -4；
2)查找x = 7，返回位置6，指向a[6] = 8；
3)特别地，如果x 大于最大的a[7] = 9，例如x = 12，返回位置8。由于不存在a[8]，所以此时是越界的。
下面是模板代码。
int bin_search(int *a, int n, int x){ //a[0]～a[n-1]是单调递增的
int left = 0, right = n; //注意：不是 n-1
while (left < right) {
int mid = left + (right-left)/2; //int mid = (left + right) >> 1;
if (a[mid] >= x) right = mid;
else left = mid + 1;
} //终止于left = right
return left; //特殊情况：a[n-1] < x时，返回n
}
下面对上述代码进行补充说明：
（1）代码执行完毕后，left==right，两者相等，即答案所处的位置。
（2）复杂度：每次把搜索的范围缩小一半，总次数是log(n)。
（3）中间值mid
中间值写成mid = left + (right-left)/2 或者mid = (left + right) >> 1都行 [参考李煜东《算法竞赛进阶指南》26页，有mid = (left + right) >> 1的细节解释]。不过，如果left + right很大，可能溢出，用前一种更好。
不能写成 mid = (left + right)/2; 在有负数的情况下，会出错。
（4）对比测试
bin_search()和STL的lower_bound()的功能是一样的。下面的测试代码，比较了bin_search()和lower_bound()的输出，以此证明bin_search()的正确性。注意，当a[n-1]<key时，lower_bound()返回的也是n。
代码执行以下步骤：
1）生成随机数组a[]；
2）用sort()排序；
3）生成一个随机的x；
4）分别用bin_search()和lower_bound()在a[]中找x；
5）比较它们的返回值是否相同。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAX 100 //试试10000000
#define MIN -100
int a[MAX]; //如果MAX超过100万，大数组a[MAX]最好定义为全局。
//大数组定义在全局的原因是：有的评测环境，栈空间很小，大数组定义在局部占用了栈空间导致爆栈。
//现在各大OJ和比赛都会设置编译命令使栈空间等于内存大小，不会出现爆栈。
unsigned long ulrand(){ //生成一个大随机数
return (
(((unsigned long)rand()<<24)& 0xFF000000ul)
|(((unsigned long)rand()<<12)& 0x00FFF000ul)
|(((unsigned long)rand()) & 0x00000FFFul));
}
int bin_search(int *a, int n, int x){ //a[0]～a[n-1]是有序的
int left = 0, right = n; //不是 n-1
while (left < right) {
int mid = left+(right-left)/2; //int mid = (left+ right)>>1;
if (a[mid] >= x) right = mid;
else left = mid + 1;
}
return left; //特殊情况：如果最后的a[n-1] < key，left = n
}
int main(){
int n = MAX;
srand(time(0));
while(1){
for(int i=0; i< n; i++) //产生[MIN, MAX]内的随机数，有正有负
a[i] = ulrand() % (MAX-MIN + 1) + MIN;
sort(a, a + n ); //排序，a[0]~a[n-1]
int test = ulrand() % (MAX-MIN + 1) + MIN; //产生一个随机的x
int ans = bin_search(a,n,test);
int pos = lower_bound(a,a+n,test)-a;
//比较bin_search()和lower_bound()的输出是否一致：
if(ans == pos) cout << "!"; //正确
else { cout << "wrong"; break;} //有错，退出
}
}
2.2 STL的lower_bound()和upper_bound()
如果只是简单地找x或x附近的数，就用STL的lower_bound()和upper_bound()函数。有以下情况：
（1）查找第一个大于x的元素的位置：upper_bound()。代码例如：
pos = upper_bound(a, a+n, test) - a;
（2）查找第一个等于或者大于x的元素：lower_bound()。
（3）查找第一个与x相等的元素：lower_bound()且 = x。
（4）查找最后一个与x相等的元素：upper_bound()的前一个且 = x。
（5）查找最后一个等于或者小于x的元素：upper_bound()的前一个。
（6）查找最后一个小于x的元素：lower_bound()的前一个。
（7）单调序列中数x的个数：upper_bound() - lower_bound()。
2.3 简单例题
寻找指定和的整数对。这是一个非常直接的二分法问题。
∎问题描述
输入n ( n≤100,000)个整数，找出其中的两个数，它们之和等于整数m(假定肯定有解)。题中所有整数都能用int 表示。
∎题解
下面给出三种方法：
（1）暴力搜，用两重循环，枚举所有的取数方法，复杂度O(n^2)。超时。
（2）二分法。首先对数组从小到大排序，复杂度O(nlogn)；然后，从头到尾处理数组中的每个元素a[i]，在a[i]后面的数中二分查找是否存在一个等于 m - a[i]的数，复杂度也是O(nlogn)。两部分相加，总复杂度仍然是O(nlogn)。
（3）尺取法/双指针/two pointers。对于这个特定问题，更好的、标准的算法是：首先对数组从小到大排序；然后，设置两个变量L和R，分别指向头和尾，L初值是0，R初值是n-1，检查a[L]+a[R]，如果大于m，就让R减1，如果小于m，就让L加1，直至a[L]+a[R] = m。排序复杂度O(nlogn)，检查的复杂度O(n)，总复杂度O(nlogn)。检查的代码这样写：
void find_sum(int a[], int n, int m){
sort(a, a + n - 1); //先排序
int L = 0, R = n - 1; //L指向头，R指向尾
while (L < R){
int sum = a[L] + a[R];
if (sum > m) R--;
if (sum < m) L++;
if (sum == m){
cout << a[L] << " " << a[R] << endl; //打印一种情况
L++; //可能有多种情况，继续
}
}
}
3. 整数二分典型题目
上面给出的二分法代码bin_search()，处理的是简单的数组查找问题。从这个例子，我们能学习到二分法的思想。
在用二分法的典型题目中，主要是用二分法思想来进行判定。它的基本形式是：
while (left < right) {
int ans; //记录答案
int mid = left+(right-left)/2; //二分
if (check(mid)){ //检查条件，如果成立
ans = mid; //记录答案
… //移动left（或right）
}
else … //移动right（或left）
}
所以，二分法的难点在于如何建模和check()条件，其中可能会套用其他算法或者数据结构。
二分法的典型应用有：最小化最大值、最大化最小值。
3.1 最大值最小化（最大值尽量小
3.1.1序列划分问题
这是典型的最大值最小化问题。
∎题目描述
例如，有一个序列{2,2,3,4,5,1}，将其划分成3个连续的子序列S(1)、S(2)、S(3)，每个子序列最少有一个元素，要求使得每个子序列的和的最大值最小。
下面举例2个分法：
分法1：S(1)、S(2)、S(3)分别是(2,2,3)、(4,5)、(1),子序列和分别是7、9、1，最大值是9；
分法2：(2,2,3)、(4)、(5,1),子序列和是7、4、6，最大值是7。
分法2更好。
∎题解
在一次划分中，考虑一个x，使x满足：对任意的S(i)，都有S(i)<=x，也就是说，x是所有S(i)中的最大值。题目需要求的就是找到这个最小的x。这就是最大值最小化。
如何找到这个x？从小到大一个个地试，就能找到那个最小的x。
简单的办法是：枚举每一个x，用贪心法每次从左向右尽量多划分元素，S(i)不能超过x，划分的子序列个数不超过m个。这个方法虽然可行，但是枚举所有的x太浪费时间了。
改进的办法是：用二分法在[max, sum]中间查找满足条件的x，其中max是序列中最大元素，sum是所有元素的和。
3.1.2 通往奥格瑞玛的道路
“通往奥格瑞玛的道路”，来源：https://www.luogu.org/problem/P1462
∎题目描述
给定无向图，n个点，m条双向边，每个点有点权fi（这个点的过路费），有边权ci（这条路的血量）。求起点1到终点N的所有可能路径中，在总边权（总血量）不超过给定的b的前提下，所经过的路径中最大点权（这条路径上过路费最大的那个点）的最小值是多少。
题目数据：n≤10000，m≤50000，fi，ci，B≤1e9。
∎题解
对点权fi进行二分，用dijkstra求最短路，检验总边权是否小于b。二分法是最小化最大值问题。
这一题是二分法和最短路算法的简单结合。
（1）对点权（过路费）二分。题目的要求是：从1到N有很多路径，其中的一个可行路径Pi，它有一个点的过路费最大，记为Fi；在所有可行路径中，找到那个有最小F的路径，输出F。解题方案是：先对所有点的fi排序，然后用二分法，找符合要求的最小的fi。二分次数log(fi)=log(1e9) < 30。
（2）在检查某个fi时，删除所有大于fi的点，在剩下的点中，求1到N的最短路，看总边权是否小于b，如果满足，这个fi是合适的（如果最短路的边权都大于b，那么其他路径的总边权就更大，肯定不符合要求）。一次Dijkstra求最短路，复杂度是O(mlogn)。
总复杂度满足要求。
3.2 最小值最大化（最小值尽量大）
∎题目描述
“进击的奶牛”，来源：https://www.luogu.org/problem/P1824
在一条很长的直线上，指定n个坐标点（x1, …, xn）。有c头牛，安排每头牛站在其中一个点（牛棚）上。这些牛喜欢打架，所以尽量距离远一些。问最近的两头牛之间距离的最大值可以是多少。
这个题目里，所有的牛棚两两之间的距离有个最小值，题目要求使得这个最小值最大化。
∎题解
（1）暴力法。从小到大枚举最小距离的值dis，然后检查，如果发现有一次不行，那么上次枚举的就是最大值。如何检查呢？用贪心法：第一头牛放在x1，第二头牛放在xj≥x1+dis的点xi,第三头牛放在xk≥xj+dis的点xk，等等，如果在当前最小距离下，不能放c条牛，那么这个dis就不可取。复杂度O(nc)。
（2）二分。分析从小到大检查dis的过程，发现可以用二分的方法找这个dis。这个dis符合二分法：它有上下边界、它是单调递增的。复杂度O(nlogn)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,c,x[100005];//牛棚数量，牛数量，牛棚坐标
bool check(int dis){ //当牛之间距离最小为dis时，检查牛棚够不够
int cnt=1, place=0; //第1头牛，放在第1个牛棚
for (int i = 1; i < n; ++i) //检查后面每个牛棚
if (x[i] - x[place] >= dis){ //如果距离dis的位置有牛棚
cnt++; //又放了一头牛
place = i; //更新上一头牛的位置
}
if (cnt >= c) return true; //牛棚够
else return false; //牛棚不够
}
int main(){
scanf("%d%d",&n, &c);
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&x[i]);
sort(x,x+n); //对牛棚的坐标排序
int left=0, right=x[n-1]-x[0]; //R=1000000也行，因为是log(n)的，很快
//优化：把二分上限设置为1e9/c
int ans = 0;
while(left < right){
int mid = left + (right - left)/2; //二分
if(check(mid)){ //当牛之间距离最小为mid时，牛棚够不够?
ans = mid; //牛棚够，先记录mid
left = mid + 1; //扩大距离
}
else
right = mid; //牛棚不够，缩小距离
}
cout << ans; //打印答案
return 0;
}
4. 实数二分
4.1 基本形式
实数域上的二分，比整数二分简单。
const double eps =1e-7; //精度。如果下面用for，可以不要eps
while(right - left > eps){ //for(int i = 0; i<100; i++){
double mid = left+(right-left)/2;
if (check(mid)) right = mid; //判定，然后继续二分
else left = mid;
}
其中，循环用2种方法都可以：
while(right - left > eps) { ... }
或者：
for(int i = 0; i < 100; i++) { ... }
如果用for循环，由于循环内用了二分，执行100次，相当于实现了 1/2100的精度，一般比eps更精确。
for循环的100次，比while的循环次数要多。如果时间要求不是太苛刻，用for循环更简便[参考李煜东《算法竞赛进阶指南》27页的说明]。
4.2 实数二分例题
∎题目描述
“Pie”，题目来源：http://poj.org/problem?id=3122
主人过生日，m个人来庆生，有n块半径不同的圆形蛋糕，由m+1个人（加上主人）分，每人的蛋糕必须一样重，而且是一整块（不能是几个蛋糕碎块，也就是说，每个人的蛋糕都是从一块圆蛋糕中切下来的完整一块）。问每个人能分到的最大蛋糕是多大。
∎题解
最小值最大化问题。设每人能分到的蛋糕大小是x，用二分法枚举x。
#include<stdio.h>
#include<math.h>
double PI = acos(-1.0); //3.141592653589793;
#define eps 1e-5
double area[10010];
int n,m;
bool check(double mid){
int sum = 0;
for(int i=0;i<n;i++) //把每个圆蛋糕都按大小mid分开。统计总数
sum += (int)(area[i] / mid);
if(sum >= m) return true; //最后看总数够不够m个
else return false;
}
int main(){
int T; scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d",&n,&m); m++;
double maxx = 0;
for(int i=0;i<n;i++){
int r; scanf("%d",&r);
area[i] = PI*r*r;
if(maxx < area[i]) maxx = area[i]; //最大的一块蛋糕
}
double left = 0, right = maxx;
for(int i = 0; i<100; i++){
//while((right-left) > eps) { //for或者while都行
double mid = left+(right-left)/2;
if(check(mid)) left = mid; //每人能分到mid大小的蛋糕
else right = mid; //不够分到mid大小的蛋糕
}
printf("%.4f\n",left); // 打印right也对
}
return 0;
}
5. 二分法习题
饥饿的奶牛 https://www.luogu.org/problem/P1868
寻找段落 https://www.luogu.org/problem/P1419
小车问题 https://www.luogu.org/problem/P1258
借教室 https://www.luogu.org/problem/P1083
跳石头 https://www.luogu.org/problem/P2678
聪明的质监员 https://www.luogu.org/problem/P1314
分梨子 https://www.luogu.org/problem/P1493
第k大 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6231
6. 三分法求极值
6.1 原理
三分法求单峰（或者单谷）的极值，是二分法的一个简单扩展。
单峰函数和单谷函数如下图，函数f(x)在区间[l, r]内，只有一个极值v，在极值点两边，函数是单调变化的。以单峰函数为例，在v的左边，函数是严格单调递增的，在v右边是严格单调递减的。
下面的讲解都以求单峰极值为例。
如何求单峰函数最大值的近似值？虽然不能直接用二分法，不过，只要稍微变形一下，就能用了。
在[l, r]上任取2个点，mid1和mid2，把函数分成三段。有以下情况：
（1）若f(mid1) < f(mid2)，极值点v一定在mid1的右侧。此时，mid1和mid2要么都在v的左侧，要么分别在v的两侧。如下图所示。
下一步，令l = mid1，区间从[l, r]缩小为[mid1, r]，然后再继续把它分成三段。
（2）同理，若f(mid1) > f(mid2)，极值点v一定在mid2的左侧。如下图所示。下一步，令 r = mid2，区间从[l, r]缩小为[l, mid2]。
不断缩小区间，就能使得区间[l, r]不断逼近v，从而得到近似值。
如何取mid1和mid2？有2种基本方法：
（1）三等分：mid1和mid2为[l, r]的三等分点。那么区间每次可以减少三分之一。
（2）近似三等分：计算[l, r]中间点mid = (l + r) / 2，然让mid1和mid2非常接近mid，例如mid1 = mid - eps，mid2 = mid + eps，其中eps是一个很小的值。那么区间每次可以减少接近一半。
方法（2）比方法（1）要稍微快一点。
(有网友说不要用方法（2）：“因为在有些情况下这个 eps 过小可能导致这两个算出来的相等，如果相等就有可能会判断错方向，所以其实不建议这么写，log3 和 log2 本质上是一样的。”)
注意：单峰函数的左右两边要严格单调，否则，可能在一边有f(mid1) == f(mid2)，导致无法判断如何缩小区间。
6.2 实数三分
下面用一个模板题给出实数三分的两种实现方法。
∎题目描述
“模板三分法”，来源：https://www.luogu.com.cn/problem/P3382
给出一个N次函数，保证在范围[l, r]内存在一点x，使得[l, x]上单调增，[x, r]上单调减。试求出x的值。
∎题解
下面分别用前面提到的2种方法实现：（1）三等分；（2）近似三等分。
（1）三等分
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps = 1e-6;
int n;
double a[15];
double f(double x){ //计算函数值
double s=0;
for(int i=n;i>=0;i--) //注意函数求值的写法
s = s*x + a[i];
return s;
}
int main(){
double L,R;
scanf("%d%lf%lf",&n,&L,&R);
for(int i=n;i>=0;i--) scanf("%lf",&a[i]);
while(R-L > eps){ // for(int i = 0; i<100; i++){ //用for也行
double k =(R-L)/3.0;
double mid1 = L+k, mid2 = R-k;
if(f(mid1) > f(mid2))
R = mid2;
else L = mid1;
}
printf("%.5f\n",L);
return 0;
}
（2）近似三等分
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps = 1e-6;
int n; double a[15];
double f(double x){
double s=0;
for(int i=n;i>=0;i--) s=s*x+a[i];
return s;
}
int main(){
double L,R;
scanf("%d%lf%lf",&n,&L,&R);
for(int i=n;i>=0;i--) scanf("%lf",&a[i]);
while(R-L > eps){ // for(int i = 0; i<100; i++){ //用for也行
double mid = L+(R-L)/2;
if(f(mid - eps) > f(mid))
R = mid;
else L = mid;
}
printf("%.5f\n",L);
return 0;
}
6.2.1 实数三分习题
（1）“三分求极值”，题目来源：http://hihocoder.com/problemset/problem/1142
∎题目描述：在直角坐标系中有一条抛物线y = ax^2 + bx + c和一个点P(x, y)，求点P到抛物线的最短距离d。
∎题解：直接求距离很麻烦。观察这一题的距离D，发现它满足单谷函数的特征，用三分法很合适。
（2）三分套三分，是计算几何的常见题型。
“Line belt”，题目来源：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3400
∎题目描述：给定两条线段AB、CD ，一个人在AB上跑的时候速度是p，在CD上速度是q，在其他地方跑速度是r。问从A点到D点最少的时间。
∎题解：从A出发，先走到AB上一点X，然后走到CD上一点Y，最后到D。时间是：
time = |AX|/p + |XY|/r + |YD|/q
假设已经确定了X，那么目标就是在CD上找一点Y，使|XY|/r + |YD|/q最小，这是个单峰函数。三分套三分就可以了。
6.3 整数三分
整数三分的形式是：
while (left < right) {
int mid1 = left + (right - left)/3;
int mid2 = right- (right - left)/3;
if(check(mid1) > check(mid2))
… //移动right
else
… //移动left
}
下面是一个例题。
∎题目描述
“期末考试”，题目来源：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4868
有n位同学，每位同学都参加了全部的m门课程的期末考试，都在焦急的等待成绩的公布。第i位同学希望在第ti天或之前得知所有课程的成绩。如果在第ti天，有至少一门课程的成绩没有公布，他就会等待最后公布成绩的课程公布成绩，每等待一天就会产生C不愉快度。对于第i门课程，按照原本的计划，会在第bi天公布成绩。有如下两种操作可以调整公布成绩的时间：1.将负责课程X的部分老师调整到课程Y，调整之后公布课程X成绩的时间推迟一天，公布课程Y成绩的时间提前一天；每次操作产生A不愉快度。2.增加一部分老师负责学科Z，这将导致学科Z的出成绩时间提前一天；每次操作产生B不愉快度。上面两种操作中的参数X,Y,Z均可任意指定，每种操作均可以执行多次，每次执行时都可以重新指定参数。现在希望你通过合理的操作，使得最后总的不愉快度之和最小，输出最小的不愉快度之和即可。
∎题解
不愉快度是一个下凹的函数，用三分法。代码略。
