集合划分问题

问题描述：

n个元素的集合{1,2,.,n }可以划分为若干个非空子集。例如，当n=4 时，集合{1,2,3,4}可以划分为15个不同的非空子集如下：

{1}，{2}，{3}，{4}}， {{1，2}，{3}，{4}}，
{{1，3}，{2}，{4}}， {{1，4}，{2}，{3}}，
{{2，3}，{1}，{4}}， {{2，4}，{1}，{3}}，
{{3，4}，{1}，{2}}， {{1，2}，{3，4}}，
{{1，3}，{2，4}}， {{1，4}，{2，3}}，
{{1，2，3}，{4}}， {{1，2，4}，{3}}，
{{1，3，4}，{2}}， {{2，3，4}，{1}}，
{{1，2，3，4}}

其中，集合{{1，2，3，4}} 由1个子集组成；集合{{1，2}，{3，4}}，{{1，3}，{2，4}}，{{1，4}，{2，3}}，{{1，2，3}，{4}}，{{1，2，4}，{3}}，{{1，3，4}，{2}}，{{2，3，4}，{1}} 由2个子集组成；集合{{1，2}，{3}，{4}}，{{1，3}，{2}，{4}}，{{1，4}.{2}，{3}}，{{2，3}，{1}，{4}}，{{2，4}，{1}，{3}}，{{3，4}，{1}，{2}} 由3 个子集组成；集合{{1}，{2}，{3}，{4}} 由4个子集组成。

编程任务：

给定正整数n 和m，计算出n 个元素的集合{1,2,., n }可以划分为多少个不同的由m 个
非空子集组成的集合。
数据输入：
由文件input.txt 提供输入数据。文件的第1 行是元素个数n 和非空子集数m。
结果输出:
程序运行结束时，将计算出的不同的由m个非空子集组成的集合数输出到文件output.txt中。

输入文件示例                                        输出文件示例
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算法思想

这是一个很简单的分治题，我们可以定义一个划分函数setSplit(n,m)，其中n表示划分集合规模，m表示要划分的子集数目，我们可以这样处理，从第n个数开始往1推导，对于第i个数i，有2种处理方法：

• i 可以进入m个集合中的任何一个：m*setSplit(n-1,m)
• i 可以独自成为一个单数集：setSplit(n-1,m-1)
• 当n=1或者m=n时只存在一种划分
• 当n<m时划分数为0
  从而得到递推关系式
• 另外由于计算过程中会有重复的计算，所以我们用记忆型递推关系，将setSplit(n,m)存放在数组中，从而避免重复计算，提升算法效率
  代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int table[maxn][maxn]={0};
int setSplit(int n,int m)
{
    if(n<m) return 0;
    if(n==m||m==1) return 1;
    if(!table[n][m]) table[n][m]=m*setSplit(n-1,m)+setSplit(n-1,m-1);
    //加入任意一个集合或者独立成一个集合
    return table[n][m];
}
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    cout<<setSplit(n,m)<<endl;
    return 0;
}

算法复杂度分析

（1）由于递推过程中我们从最底层开始推导，所以算法最终会将一个mn的表格填满，算法复杂度为O(mn)