Part 2R 导数与微分（反例）

专题复习

连续，可导，可微，连续可导与导函数的极限

函数在某点有极限\(\xrightarrow{推不出1}\)该点连续（特殊极限）\(\xrightarrow{推不出2}\)该点可导（光滑）\(\xrightarrow{推不出3}\)（进入邻域讨论）该点某邻域内连续\(\xrightarrow{推不出4}\)导数在该点有极限（去心邻域性质）\(\xrightarrow{推不出}\)导数在该点连续（不去心）\(\cdots(升阶循环)\)

• \(1^。\) 例如可去间断点处：有极限但不连续
• \(2^。\) 例如\(y=|x|， y=x\sin\frac{1}{x}\)：\(x=0\)点连续但不可导（左右导数不相等或者，单侧导数不存在）同时对于\(y=x\cdot\sin\frac{1}{x}\)邻域内不连续不可导
• \(3^。\) 我们可以举出反例：

\[f(x)=\begin{cases} x^2, &x\in\mathbb{Q}\\ 0,&otherwise \end{cases} \]

这个例子中函数仅在\(x=0\)处连续

• \(4^。\) 例如\(y=x^2\sin \frac{1}{x}\)：原函数在\(x=0\)处连续且可导，存在去心邻域内连续且可导，但导函数在\(x=0\)处无极限（利用极限存在的四则运算性质），故任意邻域内导数不连续，从而也有任意邻域内不可二阶导
• 导函数无第一类间断，所以如果导函数不连续，仅仅可能是第二类间断，利用\(\sin\frac{1}{x}\)类的变态函数可以构造出无穷或者震荡间断点。
• 从而对于洛必达法则使用过程，由于需要某去心邻域导函数连续，\(x=x_0\)处\(n\)阶可导意味着可以洛到\(n-1\)阶，\(n\)阶连续可导可以洛到\(n\)阶。（实质是某点有定义推不出该点连续）
• 若\(f''(x_0)\)存在，隐含在\(U(x_0)\)内\(f'(x)\)存在，则\(f(x)\)当\(x\in U(x_0)\)必然连续（可导意味着该点连续，从而能推出该点邻域有定义，再推出该点有定义）

典型的不可导点

1. 无定义的点,没有导数存在(D.N.E.= do not exists)，例如分子为0的点；(无定义)
2. 不连续的点,或称为离散点,导数不存在；(不连续)
3. 连续点,但是此点为尖尖点,左右两边的斜率不一样,也就是导数不一样,不可导；(不光滑)
4. 有定义,连续、光滑,但是斜率是无穷大.(导数值为∞)