POJ1284 Primitive Roots - 数论 - 原根 - 欧拉函数

Primitive Roots

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Description

We say that integer x, 0 < x < p, is a primitive root modulo odd prime p if and only if the set { (xi mod p) | 1 <= i <= p-1 } is equal to { 1, …, p-1 }. For example, the consecutive powers of 3 modulo 7 are 3, 2, 6, 4, 5, 1, and thus 3 is a primitive root modulo 7.
Write a program which given any odd prime 3 <= p < 65536 outputs the number of primitive roots modulo p.

Input

Each line of the input contains an odd prime numbers p. Input is terminated by the end-of-file seperator.

Output

For each p, print a single number that gives the number of primitive roots in a single line.

Sample Input

23
31
79

Sample Output

10
8
24

 
 

题目大概意思：

给出一个素数 $p(3≤p&lt;65536)$ ，求模 $p$ 的原根的个数。

 
 

分析：

根据以下两个定理即可解决此题：

1. 模 $m$ 有原根的充要条件是 $m=2,4,p^a,2p^a$ ，其中 $p$ 是奇素数， $a$ 是任意正整数。
2. 当模 $m$ 有原根时，它有 $\phi(\phi(m))$ 个原根。

（其中 $\phi(x)$ 为欧拉函数）

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由于 $p$ 为大于 $2$ 的素数，因此一定有原根。我们预处理出 $[1,65536]$ 的欧拉函数值的表，再根据定理计算答案即可。

 
 
下面贴代码：

#include <cstdio>
using namespace std;

const int MAX_N = 65536;

int euler[MAX_N];
void euler_phi();

int main()
{
	int p;
	euler_phi();
	while (~scanf("%d", &p))
	{
		printf("%d\n", euler[euler[p]]);
	}
	return 0;
}

void euler_phi()
{
	for (int i = 1; i < MAX_N; ++i)
	{
		euler[i] = i;
	}
	for (int i = 2; i < MAX_N; ++i)
	{
		if (euler[i] == i)
		{
			for (int j = i; j < MAX_N; j += i)
			{
				euler[j] = euler[j] / i * (i - 1);
			}
		}
	}
}