本期任务：介绍算法中关于动态规划思想的几个经典问题
一、问题描述
"""
问题介绍
给定指定的硬币种类，面值为 1, 3, 5（在此具体化些），给定所找零的钱数 sum，给出最少的硬币找零数，每个种类的硬币无限使用。
问题分析
看到这问题，当时我想到用贪心算法来求解，最后求解方案因为巧合对了，后来在网上看到动态规划的题目，才知道贪心算法得不到最优解，
比如 给定 面值为 1, 3, 4，给定找零数为 6，用贪心法得出方案 [4,1,1],但显然 [3,3] 方案即可。
分析下问题，想一下若存在最少硬币数 num 满足当前给定的找零数 sum，则是不是一定存在最少硬币数 num-1 满足找零数 sum - （1, 3, 5 )？
答案是存在，想一想就知道，当然边界除外。这个类似于最短路径的 dijkstra算法。
输入：
w = [1, 3, 4]
s = 6
输出：
2
"""
二、算法思路
本题的解法与剪绳子问题大同小异，可以阅读【算法】【动态规划篇】第5节：剪绳子问题，加深对此类问题的理解。
1. 策略选择
一个模型：
- 硬币找零问题是典型的“多阶段决策求最优解”问题，每一次决策有最多有m种选择（m为币值种类数量），直到目标值为0或者找零失败时结束；最优解是最少的找零次数。
三个特征：
-
重复子问题：
- 不同的决策序列，到达某个相同的阶段时，可能会产生重复的状态。
- 本题中，找3零个1元或者1个三月，都可以到达目标值为3元的状态。
-
无后效性：
-
最优子结构：
- 后面阶段的状态可以通过前面阶段的状态推导出。
- 本题中，目标值为6的状态可以由目标值为5元、3元、2元的状态中的最小值加1来计算。
综上所述，本问题满足一个模型、三个特征，所以可以使用动态规划来求解。
当然，凡是能用动态规划解决的问题，都可以用回溯思想来暴力求解，具体实现代码如有兴趣可自行编写，过程不难，更多关于回溯思想的应用，可以参照：【算法】【回溯篇】第7节：0-1背包问题
2. 动态规划算法思路
动态规划使用的流程：自顶向下分析问题，自底向上解决问题！
- 使用长度为s的一维数组来记录不同目标值下的最少找零数。
- 更新过程（状态转移思路）：
- 若存在最少硬币数 num 满足当前给定的找零数 sum，则一定存在最少硬币数 num-1 满足找零数 sum - （1, 3, 4)
- 若存在最少硬币数 num 满足当前给定的找零数 sum，则一定存在最少硬币数 num-1 满足找零数 sum - （1, 3, 4)
三、Python代码实现
1. 动态规划解法
class Solution():
def coins(self, w, s):
"""
使用动态规划求解硬币找零问题，若存在最少硬币数 num 满足当前给定的找零数 sum，则一定存在最少硬币数 num-1 满足找零数 sum - （1, 3, 4)
"""
res = [s + 1] * (s) # 用来记录不同问题规模下的最优解
for v in w:
if v <= s:
res[v - 1] = 1 # 找零数恰好为w中的元素，则num为1
for i in range(s): # 依次遍历res，进行填表
if res[i] == s + 1: # 只遍历未填写的位置
min_v = [res[i - v] for v in w if i - v >= 0]
if min_v: # 跳过无法找零的情形
res[i] = 1 + min(min_v)
if res[-1] > s: # 找零失败
return
else:
return res[-1]
def main():
w = [1, 3, 4]
s = 6
client = Solution()
print(client.coins(w, s))
if __name__ == '__main__':
main()
运行结果：
2
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