生成函数与多项式基础
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普通生成函数
OGF:
\[F(x)=\sum_{i\geq 0} a_ix^i \]
\[\sum_{i\geq 0 }x^i = \frac{1}{1-x} \]
\[\sum_{i\geq 0} a^i x^i = \frac{1}{1-ax} \]
牛顿二项式定理
记结论就好。
\[(1+x)^\alpha =\sum_{k\ge 0} {\alpha\choose k} x^k \]
卡特兰数生成函数
\[C(x)=\sum_{i\ge 0} h(i)x^i\\=1+\sum_{i\ge 1} \sum_{j=0}^{i-1} h(j)x^jh(i-j-1)x^{i-j-1}x\\=1+x\sum_{j\ge 0}h(j)x^j \sum_{i\ge 0 }h(i)x^i\\=1+xC^2(x) \]
\[C(x)=\frac{1\pm\sqrt{1-4x}}{2x} \]
正根不收敛，则\(C(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\)
\[(1-4x)^{\frac1 2}=\sum_{i\geq 0 }{\frac 1 2\choose i}(-4x)^i\\=1+\sum_{i \ge 1 }\frac{{\frac1 2}^\underline i}{i!}(-4x)^i \]
化简得到\(C(x)=\sum_{i\ge 0}\frac{1}{i+1}{2i\choose i}x^i\)
BZOJ3028 食物
化简得到\(\frac{x}{(1-x)^4}\)
用牛顿二项式定理化简：
\[(1-x)^{-4} =\sum{{4+i-1} \choose i}x^i \]
\[\frac x {(1-x)^4} = \sum _{i \geq 1} {2+i \choose 3} x^i \]
常见导数
\[(x^n)'=nx^{n-1}\\(e^x)'=e^x\\(a^x)'=e^{x\ln a}\ln a\\(\ln x)=\frac 1 x \]
多项式求导/积分
就是往前/后移1位，乘上一个系数。
积分往后移，除以(i+1)，求导往前移，乘上i
泰勒展开
\[f(x)=\sum_{n\ge 0 }\frac {f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \]
多项式ln
\[\ln(1-x)=-\sum_{i\ge 1}\frac{x^i}{i} \]
\[ln(1-F(x))=-\sum_{i \ge 1}\frac{F^i(x)}{i} \]
\[(\ln F(x))'=\frac{d\ln F(x)}{dx} \]
根据链式求导法则，
\[=\frac{d\ln F(x)}{dF(x)}\frac{dF(x)}{dx}=\frac{1}{F(x)}F'(x)=\frac{F'(x)}{F(x)} \]
两边积分，
\[\ln F(x)=\int \frac{F'(x)}{F(x)}dx \]
于是可以用多项式求逆计算。总复杂度\(n\log n\)，求逆+乘法
多项式牛顿迭代
\[F_0=F \mod x^{\left\lceil\frac n 2\right\rceil}\\F=F_0-\frac {G(F_0(x))}{G'(F_0(x))} \]
证明是求\(G(F(x))\)在\(F_0(x)\)处的泰勒展开。
多项式开根/exp
用牛迭推出来的东西，看板子吧...