bzoj3456: 城市规划生成函数多项式求逆多项式求ln

bzoj3456: 城市规划

分析

方法1：算二次法

考虑一张 $n$ 点的有标号无向图的个数，显然一共 $C_n^2$ 条边，所以方案数是 $g_n=2^{C_n^2}$
设 $f_i$ 表示 $i$ 个点的无向连通图，一种计数的套路是枚举标号为1的点的所在联通快大小，得到
$g_n=\sum_{i=1}^nf_i\cdot C_{n-1}^{i-1}\cdot g_{n-i}$
$\frac{g_n}{(n-1)!}=\sum_{i=1}^n\frac{f_i}{(i-1)!}\cdot \frac{g_{n-i}}{(n-i)!}$
这是一个卷积的形式
令 $G=\sum \frac{g_i}{i!}x^i,F(i)=\frac{f_i}{(i-1)!}x^i, M(i)=\frac{g_i}{(i-1)! }x^i$
那么有
$G\cdot F = M$
$F=M \cdot G^{-1}$
多项式求逆即可。

方法1：指数生成函数

具体可以看这里
搞出 $G(n)$ 的EGF
$G(x)=\sum2^{C_i^2}\frac{x}{i!}$
搞出 $F(n)$ 的EGF
$F(x)=\sum f_i\frac{x}{i!}$
根据指数生成函数的集合划分意义，可以得到
$G(x)=e^{F(x)}$
然后 $F(x)=ln(G(x))$
所以多项式求ln即可
具体方法是
$\frac{dF}{dx}=\frac{dG}{G(x)}$
然后
$F(x)=\int \frac{dG}{G(x)}$
求导->多项式求逆->积分即可。
式子退出来是和方法1一样样的

代码

#include<bits/stdc++.h>
const int N = 524288, P = 1004535809;
int ri() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1; for(;c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
    for(;c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) - '0' + c; return x * f;
}
int fix(int x) {return (x >> 31 & P) + x;}
int add(int a, int b) {return a += b, a >= P ? a - P : a;}
int mul(int a, int b) {return 1LL * a * b % P;}
int Pow(int x, int k) {
    int r = 1;
    for(;k; x = mul(x, x), k >>= 1)
        if(k & 1)
            r = mul(r, x);
    return r;
}
int Inv(int x) {return Pow(x, P - 2);}
int n, L, InvL, R[N], w[N], f[N], g[N], G[N], F[N], dG[N];
namespace NTT {
    void Pre(int m) {
        int x = 0; L = 1;
        for(;(L <<= 1) < m; ++x) ;
        for(int i = 1;i < L; ++i) 
            R[i] = R[i >> 1] >> 1 | (i & 1) << x;
        int wn = Pow(3, (P - 1) / L); w[0] = 1;
        for(int i = 1;i < L; ++i)
            w[i] = mul(w[i - 1], wn);
        InvL = Inv(L);
    }
    void DFT(int *F) {
        for(int i = 0;i < L; ++i) 
            if(i < R[i])
                std::swap(F[i], F[R[i]]);
        for(int i = 1, d = L >> 1; i < L; i <<= 1, d >>= 1)
            for(int j = 0;j < L; j += i << 1) {
                int *l = F + j, *r = F + j + i, *p = w, tp;
                for(int k = i;k--; ++l, ++r, p += d)
                    tp = mul(*r, *p), *r = fix(*l - tp), *l = add(*l, tp);
            }
    }
}
void Inv(const int A[], int *B, int n) {
    static int C[N];
    B[0] = Inv(A[0]); int m = 2;
    for(; m >> 1 < n; m <<= 1) {
        NTT::Pre(m << 1);
        for(int i = 0;i < m; ++i)
            C[i] = A[i], C[i + m] = B[i + m] = 0;
        NTT::DFT(C); NTT::DFT(B);
        for(int i = 0;i < L; ++i)
            C[i] = mul(fix(2 - mul(C[i], B[i])), B[i]);
        NTT::DFT(C);
        for(int i = 0;i < m; ++i)
            B[i] = mul(C[L - i & L - 1], InvL), B[i + m] = 0;
    }
}
void Pre(int n) {
    f[0] = 1; for(int i = 1;i <= n; ++i) f[i] = mul(f[i - 1], i);
    g[n] = Inv(f[n]); for(int i = n; i; --i) g[i - 1] = mul(g[i], i);
}
int main() {
    Pre(n = ri()); G[1] = 1;
    for(int i = 0;i <= n; ++i)
        G[i] = mul(Pow(2, (1LL * i * (i - 1) >> 1) % (P - 1)), g[i]);
    for(int i = 1;i <= n; ++i)
        dG[i - 1] = mul(G[i], i);
    Inv(G, F, n + 1);
    Pre((n << 1) + 1);
    NTT::DFT(dG); NTT::DFT(F);
    for(int i = 0;i < L; ++i)
        F[i] = mul(F[i], dG[i]);
    NTT::DFT(F);
    printf("%d\n", mul(mul(F[L - n + 1 & L - 1], InvL), f[n - 1]));
    return 0;
}