luoguP4389 付公主的背包多项式求逆多项式求ln 多项式求exp 生成函数

luoguP4389 付公主的背包

分析

神仙题系列。。。
首先写出每件商品的生成函数，假设体积为 $V$
$A(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^{iv}=\frac{1}{1-x^{v}}$
答案就是
$Ans(x)\equiv\prod\frac{1}{1-x^{vi}}(mod x^{m+1})$
裸跑 $NTT$ 就是 $O(nmlog)$
乘积的处理比较麻烦，尝试转化成加和，两边同时取对数
$ln(Ans(x))\equiv\sum ln(\frac{1}{1-x^{v_i}})(mod x^{m+1})$
尝试把 $ln(\frac{1}{1-x^{v_i}})$ 泰勒展开，既然是对多项式求 $ln$ ，肯定是先求导后积分。
$ln'(\frac{1}{1-x^{v}})=-ln'(1-x^v)=-(-vx^{v-1})\cdot(\frac{1}{1-x^v})=v\sum_{i= 0}^{\infty}x^{v(i+1)-1}=\sum_{i= 1}^{\infty}vx^{vi-1}$
积分回去之后发现是
$\int ln'(\frac{1}{1-x^{v}})= \sum_{i= 1}^{\infty}\frac{x^{vi}}{i}$
非常漂亮的一个式子。
注意到我们仅仅需要考虑 $m$ 以内的 $x$
而上面的式子可以采用调和级数求和。
于是我们只需要在 $O(mlogm)$ 的时间内就可以求出 $ln(Ans(x))$
然后多项式exp即可。

多项式exp

还是一样的分治思想
$f(x)=e^{A(x)}$
$ln(f(x))-A(x)=0$
令 $g(f(x))=ln(f(x))-A(x)$
假设我们已经求了
$f_0(x)\equiv e^{A(x)}(\mod x^{n})$
希望求
$f(x)\equiv e^{A(x)}(\mod x^{2n})$
那么
$g(f(x))\equiv0(\mod x^{2n})$
考虑在 $f_0$ 处泰勒展开
$g(f(x))\equiv g(f_0(x)) + g'(f_0(x))(f(x)-f_0(x))+\frac{g''(f(x))}{2}(f(x)-f_0(x))^2 \cdots(\mod x^{2n})$
注意到
$f(x)\equiv f_0(x)(\mod x^n)$
所以
$f(x)-f_0(x)\equiv 0(\mod x^n)$
这就意味着， $f(x)-f(x_0)$ 在 $\mod x^{2n}$ 意义下的最低幂次不小于 $x^n$
所以平方之后的最低幂次不小于 $x^{2n}$ ，在 $\mod x^{2n}$ 意义下为 $0$
所以
$g(f(x))\equiv g(f_0(x)) + g'(f_0(x))(f(x)-f_0(x))(\mod x^{2n})\equiv 0$
$f(x)\equiv f_0(x)-\frac{g(f_0(x))}{g'(f_0(x))}(\mod x^{2n})$
$g'(f_0(x))=\frac{1}{f_0(x)}$ 代入
$f(x)\equiv f_0(x)(1-ln(f_0(x))+A(x))(\mod x^{2n})$
分治+多项式求ln+NTT即可。
复杂度 $T(n)=T(\frac{n}{2})+O(nlogn)=T(nlogn)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
const int N = 262144, M = 1e7 + 10, P = 1004535809;
int ri() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1; for(;c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
	for(;c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) - '0' + c; return x * f;
}
int w[N], R[N], A[N], B[N], sz[N], f[M], g[M], v[N], tp, L, InvL, n;
int fix(int x) {return (x >> 31 & P) + x;}
int add(int a, int b) {return a += b, a >= P ? a - P : a;}
int mul(int a, int b) {return 1LL * a * b % P;}
int Pow(int x, int k) {
	int r = 1;
	for(;k; x = mul(x, x), k >>= 1)
		if(k & 1)
			r = mul(r, x);
	return r;
}
int Inv(int x) {return Pow(x, P - 2);}
void Pre(int m) {
	L = 1; int x = 0;
	for(;(L <<= 1) < m; ++x) ;
	for(int i = 1;i < L; ++i)
		R[i] = R[i >> 1] >> 1 | (i & 1) << x;
	w[0] = 1; int wn = Pow(3, (P - 1) / L);
	for(int i = 1;i < L; ++i)
		w[i] = mul(w[i - 1], wn);
	InvL = Inv(L);
}
void DFT(int *F) {
	for(int i = 0;i < L; ++i)
		if(i < R[i])
			std::swap(F[i], F[R[i]]);
	for(int i = 1, d = L >> 1; i < L; i <<= 1, d >>= 1)
		for(int j = 0;j < L; j += i << 1) {
			int *l = F + j, *r = F + j + i, *p = w, tp;
			for(int k = i; k--; ++l, ++r, p += d)
				tp = mul(*r, *p), *r = fix(*l - tp), *l = add(*l, tp);
		}
}
int C(int m, int n) {return mul(mul(f[m], g[n]), g[m - n]);}
void Get(int n) {
	f[0] = 1; for(int i = 1;i <= n; ++i) f[i] = mul(f[i - 1], i);
	g[n] = Inv(f[n]); for(int i = n;i; --i) g[i - 1] = mul(g[i], i);
}
int main() {
	int n = ri(), m = ri(), s = ri(), lim = std::min(n / s, m);
	for(int i = 0;i <= m; ++i) v[i] = ri();
	Get(std::max(n, m));
	for(int i = 0;i <= lim; ++i) {
		int cnt = i * s;
		A[i] = mul(mul(C(m, i), C(n, cnt)), mul(f[cnt], Pow(g[s], i)));
		A[i] = mul(A[i], mul(Pow(m - i, n - cnt), f[i]));
	}
	for(int i = 0;i <= lim; ++i)
		B[lim - i] = i & 1 ? fix(-g[i]) : g[i];
	Pre((lim << 1) + 1);
	DFT(A); DFT(B);
	for(int i = 0;i < L; ++i)
		A[i] = mul(A[i], B[i]);
	DFT(A);
	int ans = 0;
	for(int i = 0;i <= lim; ++i) {
		ans = add(ans, mul(mul(v[i], g[i]), mul(A[L - i - lim & L - 1], InvL)));
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}