loj6268 分拆数 生成函数+多项式ln+多项式exp

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Description

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设f(n)表示正整数n的分拆数，求f(1)~f(n)

Solution

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考虑分拆数的生成函数 $F(x)$，就是
$F(x)=\prod\limits_{i\ge 0}\left({\frac{1}{1-x^i}}\right)$

常规套路就是两边取对数变成加法，于是
$\ln\left(F(x)\right)=-\sum\limits_{i\ge1}\ln(1-x^i)$

考虑对右柿泰勒展开，导数值我们取 $x_0=0$，那么
$\ln\left(F(x)\right)=\sum\limits_{i\ge1}\sum\limits_{j\ge1}\frac{x^{ij}}{j}$
其中用到一个结论是
$\ln(x+1)=\sum\limits_{n\ge1}{(-1)}^{n+1}\frac{x^n}{n}$
上柿是函数 $f(x)=\ln(x+1)$的麦克劳林级数，我们把x用 $-x^{ij}$带就可以了

因为多项式的界次是n的，因此答案右边的柿子可以nlogn求，我们只需要exp回去就可以了

Code

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口胡博客没有代码