前言：树型结构是一类重要的非线性结构,其特点是结点之间有分支,并具有层次关系。

1.1 基本概念

1.1.1 树

        树是由n(n≥１)个有限结点组成的一个具有层次关系的集合, 把它叫作“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说树是根朝上,而叶朝下的。如图所示：
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        它具有以下的特点：
            ① 每个结点有零个或多个子结点;
            ② 每个子结点只有一个父结点;
            ③ 没有前驱的结点为根结点;
            ④ 除了根结点外,每个子结点可以分为许多个不相交的子树。

        为方便描述树的特点，先列出将会涉及到的树的基本概念：
            ①结点的度：一个结点含有的子树个数；
            ②树的度：一棵树中，最大的结点的度；
            ③叶结点（终端结点）：度为0的结点；
            ④分支结点（非终端结点）：度不为0的结点；
            ⑤孩子结点：一个结点的子树的根结点；
            ⑥双亲结点（父结点）：在含有孩子的结点中，该结点称为孩子结点的双亲结点；
            ⑦兄弟结点：具有相同双亲的结点；
            ⑧祖先节点：从根到该结点所经分支上的所有结点；
            ⑨子孙结点：以某结点为根的子树中任意结点；
            ⑩节点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。如下图所示：
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            ⑪树的高度（深度）：树中结点的最大层次；
            ⑫路径：从根结点到某一结点的一条通道；
            ⑬路径长度：路径经过的边的个数。如下图所示：
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1.1.2 二叉树

        1.综述：二叉树是每个结点最多有两个子树的有序树，通常子树的根被称为“左子树”和“右子树”。如下图所示。二叉树是一种最简单的树结构，任何树都可以简单转换为二叉树。
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        2.树和二叉树的区别
            ①树的结点个数至少为1，而二叉树的结点个数可以为0；
            ②树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点最大度数为2；

        3.两种特殊的而二叉树
            （1）满二叉树
                满二叉树中所有的叶节点都在最后一层，而其他分支结点的度数都为2。示例如下：
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            （2）完全二叉树
                若一个二叉树扣除其最后一层后变成一个满二叉树，且最后一层的所有结点都向左靠齐，则称该二叉树为完全二叉树。示例如下：
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            ★满二叉树一定为完全二叉树，完全二叉树不一定为满二叉树

        3.二叉树常见的性质
            性质1    一颗非空二叉树的第i层上最多有2^i-1个结点（i≥1）
            性质2    深度为h的二叉树最多有2^h-1个结点（h＞1）
            性质3    对于任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀=n₂+1
            性质4    若一个正则二叉树（只有度为0和2结点的二叉树）中有n个叶子结点，则该二叉树结点总数为log₂n（由性质2 推导）
            性质5    对于具有n个结点的完全二叉树，如果如果按照从上到下、同一层次上的结点按从左到右的顺序对二叉树中的所有结点从1开始顺序编号,则对于序号为i的结点,有
                ① 如果i＞1,则序号为i的结点其双亲结点的序号为[i/2] ([i/2] 表示对i/2的值取整); 如果i＝1,则结点i为根结点,没有双亲
                ② 如果2i＞n,则结点i无左孩子(此时结点i为终端结点);否则其左孩子为结点2i
                ③ 如果2i＋1＞n,则结点i无右孩子;否则其右孩子为结点2i＋1

1.1.3 森林

由m（m≥0）棵互不相交的树构成的集合称为森林。如下图所示，该森林由三棵树所构成：
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1.2 基本操作

1.2.1 树的遍历

        1.前序遍历
            ①访问根结点；
            ②按照从左到右的顺序前序遍历根结点的每一棵子树。
        2.后序遍历
            ①按照从左到右的顺序后序遍历根结点的每一棵子树；
            ②访问根结点。
        3.层序遍历（广度遍历）
            从树的第一层（也就是根结点）开始自上而下逐层遍历，每一层按照从左到右的顺序逐个访问结点。

下图展示了按照这三种遍历方式所对应的遍历结果：
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1.2.2 二叉树的遍历

        1.前序遍历
            ①访问根结点
            ②前序遍历访问根结点的左子树
            ③前序遍历访问根结点的右子树
        2.中序遍历
            ①中序遍历访问根结点的左子树
            ②访问根结点
            ③中序遍历访问根结点的右子树
        3.后序遍历
            ①后序遍历访问根结点的左子树
            ②后序遍历访问根结点的右子树
            ③访问根结点
        4.层序遍历
            按照从上到下，同一层次从左到右的顺序访问二叉树

        下图展示了一棵二叉树四种遍历方式的结果：
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    ★由二叉树的前序（后序）序列和中序序列可以唯一确定一棵二叉树，但是只由前序序列和后序序列不能确定一棵二叉树。

1.2.3 森林的遍历

        1.前序遍历
            若森林非空，则：
            ①访问森林中第一棵树的根结点
            ②前序遍历第一棵树中根结点的每一棵子树
            ③前序遍历除第一棵树外的其他树
        2.后序遍历
            若森林非空，则：
            ①后序遍历第一棵树的根结点的各个子树
            ②访问第一棵树的根结点
            ③后序遍历除第一棵树外的其他树

        下图给出了一个三棵树的森林的两种遍历结果：
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        ★根据森林，树和二叉树的关系，可以得知：
            ①前序遍历森林＝前序遍历该森林对应的二叉树
            ②后序遍历森林＝中序遍历该森林所对应的二叉树
            ③前序遍历树＝前序遍历该树所对应的二叉树
            ④后序遍历树＝中序遍历该树所对应的二叉树

1.2.4 树、森林和二叉树的转换

        1.树、森林转换成二叉树
            ①在所有兄弟之间加一条线
            ②对每个结点，去掉该结点和除长子外与其他孩子的连线
        树转换为二叉树如下图所示：
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        森林转换成二叉树如下图所示：

        2.二叉树转换成树、森林
        若结点x是双亲y的左孩子，则把x的右孩子、右孩子的右孩子都与y连起来，最后去掉双亲到右孩子的连线。如图所示：
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