一元最值问题
[例] 求解x为多少时，目标函数y = sinx + 5x² + 2可取得最小值？
接下来分析一下这道题，它是求最值问题，我们按照高中的思路，容易想到求导，然后让导数值为0，求得的x即为极值点，接着通过相关计算求出答案。
那我们就来试试看，首先求导得y' = cosx +10x，然而我们不知道如何求得x使得导数值为0……
这时我们就需要使用到梯度下降算法，因为我们求的是最小值，所以设置学习率为-0.1。
[解] 首先随机初始化x，假设x= 0。梯度为▽y= cosx + 10x
| 循环 | x | 梯度 | 更新x |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | cos0 + 10 * 0 = 1 | 0 - 0.1 * 1 = -0.1 |
| 2 | -0.1 | cos0.1 + 10 * 0.1 = -0.0050 | -0.1 + 0.1 * 0.0050 = -0.0995 |
| 3 | -0.0995 | cos(-0.0995) - 10 * 0.0995 = -0.00005 ≈ 0 | 无更新 |
梯度为-0.00005时，已经接近为0了，也就意味着偏导数为0，意味着此时已经到达极小值了。
当 x = -0.0995 时，ymin = 1.95，问题得解！
多元最值问题
[例] 利用梯度下降法，计算y = (x1 - 1)² + (x2 - 3)²的极小值
[解] 先计算梯度
因为求解最小值，所以设置学习率为-0.4
| 循环 | [x1 x2] | 梯度 | 更新 [x1 x2] |
|---|---|---|---|
| 1 | [0 0] | [2 * 0 - 22 * 0-6] = [-2 -6] | [0 0] - 0.4 * [-2 -6] = [0.8 2.4] |
| 2 | [0.8 2.4] | [-0.4 -1.2] | [0.96 2.88] |
| 3 | [0.96 2.88] | [-0.08 -0.24] | [0.99 2.98] |
| 4 | [0.99 2.98] | [-0.02 -0.05] | ≈ [1.00 3.00]，不再更新 |
当 [x1 x2] = [1.00 3.00] 时，ymin = 0，问题得解！
