读书笔记
学习书目：《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》-张天蓉;
分数维
在经典几何中，是用拓扑的方法来定义维数的，也就是说，空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需要变量的数目。例如，所谓我们生活在三维空间，是因为我们需要三个数值：经度、纬度和高度来确定我们在空间的位置。
如上面所定义的拓扑维数，如何用分数维数才能解释像皮亚诺图形、科赫雪花、分形龙这些奇怪的几何图形呢？ 维数概念的扩展，要归功于德国数学家费利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫在1919年给出了维数新定义，为维数的非整数化提供了理论基础。
在分形几何中，我们将拓扑方法定义的维数，扩展成用与自相似性有关的度量方法定义的维数。我们在之前的Blog中已经介绍了分形龙的自相似性，其实，经典整数维的几何图形，诸如一条线段、一个长方形、一个立方体，也具有这种自相似性，只不过，它们的自相似性太平凡而不起眼，被人忽略了而已。也就是说：线、面、体……这些我们常见的整数维几何形状，也算是分形.就像实数中包括了整数一样，扩展了的分形维数定义当然也包括了整数维在内。
用自相似性来定义维数，可以这么理解，首先将图形按照N∶1的比例缩小，然后，如果原来的图形可以由M个缩小之后的图形拼成的话，这个图形的维数d，也叫豪斯多夫维数，就等于：
我们以线、面、体为例，来解释豪斯多夫维数：
(a)中一条线段是由两个与原线段相似、长度一半的线段接成的；(b)中长方形自身可以看成是由4个与自己相似的，大小为四分之一的部分组成的；(c )中一个立方体，则可以看成是由8个大小为自身八分之一的小立方体组成的。
计算他们的豪斯多夫维数，分别为1维、2维、3维。
现在我们以同样的方法来计算科赫曲线的维数：
首先，将科赫曲线的尺寸缩小至原来的三分之一；然后，用4个这样的小科赫曲线，便能构成与原来一模一样的科赫曲线。因此，我们得到科赫曲线的维数 ，这就说明了，科赫曲线的维数不是一个整数，而是一个小数，或分数……
