《复杂》读书笔记(part2)--混沌与逻辑斯蒂映射

学习笔记

学习书目：《复杂》- 梅拉妮·米歇尔

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混沌

再一次一无所知，从头开始，这让我很开心。——斯托帕德

混沌指的是一些系统(混沌系统)对于其初始位置和动量的测量如果有极其微小的不精确，也会导致对其的长期预测产生巨大的误差。也就是常说的对初始条件的敏感依赖性

第一个明确的混沌系统的例子可能是19世纪末由法国数学家庞加莱给出。庞加莱是现代动力系统理论的奠基者，它大力推动了牛顿力学的发展。庞加莱在试图解决一个比预测飓风简单得多的问题时发现了对初始条件的敏感依赖性，这个问题就是：三体问题。

他并没有完全解决这个这个问题，但是他的尝试很精彩。牛顿发明了微积分，而庞加莱为了解决这个问题也创建了一个新的数学分支—代数拓扑。拓扑学是几何学的扩展，正是在研究三体问题的几何结果的过程中，庞加莱发现了对初始条件的敏感依赖性。下面是他对此的总结：

如果我们能知道自然界的定律和宇宙在初始时刻的精确位置，我们就能精确预测宇宙在此后的情况。但是即便我们弄清了自然界的定律，我们也还是只能近似地知道初始状态。如果我们能同样近似地预测以后的状态，这也够了，我们也就能说现象是可以预测的，而且受到定律的约束。但并不总是这样，初始条件的细微差别有可能会导致最终现象的极大不同。前者的微小误差会导致后者的巨大误差。预测变得不可能……

换句话说，即便我们完全知道了运动定律，两组不同的初始条件（在这里是物体的初始位置、质量和速度），即使差别很小(比如：0.00000127)，有时候也会导致系统随后的运动极为不同。

逻辑斯蒂映射

混沌系统中初始的不确定性到底是如何被急剧放大的呢？关键因素是非线性。

对于线性系统，你可以先了解其组成，然后将它们合在一起；但对于非线性系统，整体则不等于部分之和。还原论者喜欢线性，而非线性则是还原论者的噩梦。

假设我们养了一堆兔子，兔子会配对生小兔子，每对兔子父母每年会生4只小兔子然后死去。很显然，如果不受限制，兔子的数量会每年翻番。这是一个线性系统，整体等于部分之和。

但是如果考虑到种群数量增长所受的限制，情况会怎样呢？这会使得增长规则变为非线性的。假定前面的规则仍然成立，每对兔子每年生4只小兔子然后死去。不过现在有些小兔子会因为太过拥挤没有繁殖就死去。

研究种群数量的生物学家常用逻辑斯蒂模型描述这种情形下群体数量的增长,这个模型以一种简化方式描述群体数量的增长。你设定好出生率、死亡率（由于种群数量过多导致的死亡概率）以及最大种群承载能力（栖息地所能承载的种群数量上限），然后将这一代的种群数量代入逻辑斯蒂模型，就能算出下一代的种群数量:
$x_{n+1}=Rx_n-R(x_n)^2=Rx_n (1-x_n) \tag{1}$
式中的小 $x$表示相对人口数，比如 $x_n=X_n/N$ .逻辑斯蒂映射中出生率和死亡率的效应被合成一个数，记作 $R$ .

逻辑斯蒂映射是能抓住混沌本质(对初始条件的敏感依赖性)的最简单的系统之一

我们来看看 $R=2, x_0=0.2$时，逻辑斯蒂映射的变化：

来看看 $R=2, x_0=0.99$时，逻辑斯蒂映射的变化：

虽然最后结果是一样的，不过 $x_0=0.99$时，到达0.5的过程要长一点，波动也更剧烈。

我们可能已经推断出了，只要 $R=2$， $x_t$最终都会到达0.5，并停在那，这个0.5正是所谓的不动点 。到达这一点所花的时间依赖于出发点，但是一旦你到达了那里，你就会保持不动。

来看看 $R=3.1, x_0=0.2$时的情形：

我们看到， $x_t$永远也不会停在一个不动点；它最终会在两个值（0.5580141和0.7645665）之间振荡。如果将前者代入方程，就会得到后者，反过来也是一样，因此振荡会一直持续下去。不管 $x_0$取什么值，最后都会形成这个振荡。 $R$一直增大，直到3.4，逻辑斯蒂映射都会有类似的变化：在迭代一些步后，系统会在两个不同的值之间周期振荡（最终的振荡点由R决定）。因为是在两个值之间振荡，系统的周期为2。

再来看看 $R=3.49, x_0=0.2$时的情形：

我们看到， $x_t$同样不会停在一个不动点，它最终会在4个值之间振荡。也就是说，最终的震荡周期变为了4。这种情况大约在 $3.4<R<3.5$，时会发生。

随着 $R$的增大， $x_t$并不是一直处于震荡的状态，当 $R\approx3.569946$时， $x_t$会变成混沌状态。当出现混沌状态时，就算设定两个非常接近的初始值 $x_0$，它们生成的序列也不会收敛到同一个不动点，或同一个周期震荡，它们会逐渐发散开来。

现在，来看一看 $R=4$时的情况，我们设置两个初始值 $x_0=0.2$和 $x_0'=0.2000000001$ :

这两条轨道开始的时候很接近（以至于实线轨道把虚线轨道都盖住了），但在大约30次迭代之后，它们明显分开了，很快就不再具有相关性。这就是对初始条件的敏感依赖性的由来。

最后，我们从整体来看看逻辑斯蒂分叉图：

我们知道，逻辑斯蒂映射极为简单，并且是完全确定的，然而得到的混沌轨道却看上去非常随机。事实上，逻辑斯蒂映射还被用来在计算机中生成伪随机数 ，因此，表面上的随机可以来自非常简单的确定性系统。

从上面的研究我们可以看出，简单的确定性方程似乎可以产生类似于随机嗓音的确定性轨道。这就意味着种群调查数据中那种明显的不稳定波动不一定表明环境的变化莫测或是采样有错误：它们有可能是由完全确定性的种群数量变化关系所导致的……另外，还可以看到，在混沌中，不管初始条件有多接近，在足够长的时间之后，它们的轨道还是会相互分开。这意味着，即使我们的模型很简单，所有的参数也都完全确定，长期预测也仍然是不可能。

这是其实一个非常负面的结论，系统存在混沌也就意味着，拉普拉斯式的完美预测不仅在实践中无法做到，在原则上也是不可能的，因 为我们永远也无法知道 $x_0$小数点后的无穷多位数值。它与量子力学一 起，摧毁了19世纪以来的乐观心态，即认为牛顿式宇宙就像钟表一样沿着可预测的路径运行。

混沌的共性

这一点，我就简单说一下，因为之前一个叙述混沌的Blog里，我已经写的比较清楚了。

混沌的共性大概有以下两点：

• 倍周期分叉
• 费根鲍姆常数

混沌思想带来的革命

• 看似混沌的行为有可能来自确定性系统，无须外部的随机源。
• 一些简单的确定性系统的长期变化，由于对初始条件的敏感依赖性，即使在原则上也无法预测。
• 虽然混沌系统的具体变化无法预测，在大量混沌系统的普适共性中却有一些“混沌中的秩序”，例如通 往混沌的倍周期之路，以及费根鲍姆常数。因此虽然在细节上“预测变得不可能”，在更高的层面上混 沌系统却是可以预测的。