《走近分形与混沌》读书笔记(part8)--逻辑斯蒂与混沌

学习笔记

学习书目：《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌 》-张天蓉；

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逻辑斯蒂方程

我们对马尔萨斯的名字并不陌生，对他的人口论更有切身的体会。马尔萨斯的人口论基于一个很简单的公式：
$X_{n+1}=(1+r)X_n=kX_n \tag{1}$

式中的 $X_{n+1}$代表第n＋1代的人口数， $X_n$代表第n代的人口数 . $r=(X_{n+1}-X_n)/X_n$，是人口增长率。 $k＝1+r$通常是一个大于1的数，因而，人口数便以k的幂级数增长。我们假设迭代次数以年计算，有了这个公式，从某年一个初始的人口数出发，便可以推算出下一年、再下一年、再再下一年的人口数来。

但是，马尔萨斯犯了一个错误，实际上，战争、瘟疫和饥荒是伴随着人口繁衍而同时发生的，必须在方程中将这些因素考虑进去。

后来的学者们对这个理论进行了修正在式(1)的右方加上了一个负的平方修正项，变为：
$X_{n+1}=kX_n - (k/N) \cdot(X_n)^2 \tag{2}$
其中 $N$表示最大人口数。

这个非线性修正项则是反映了诸如食物来源、疾病、战争等生存环境因素对人口的影响，负号表明这种制约导致下一代人口的减少。这就是生态学中著名的逻辑斯蒂方程 ，它不仅仅可用于人口的研究，也可用于对其他生物繁衍、种群数量.

式(2)也可以写为：
$x_{n+1}=kx_n-k(x_n)^2=kx_n (1-x_n) \tag{3}$
式中的小 $x$表示相对人口数，比如 $x_n=X_n/N$

显而易见，这是一个非线性方程，听到非线性这个词，我们就要小心了，非线性的效应使得方程中暗藏了混沌。

魔鬼的诞生

罗伯特·梅1938年生于澳大利亚悉尼，是个在各个领域涉猎甚广的科学家。罗伯特·梅对理论生态学、人口动态研究、生物系统的复杂性及稳定性等问题有着浓厚的兴趣。

需要强调的是，标题中的魔鬼不是指罗伯特教授，而是指其他东西

罗伯特·梅将逻辑斯蒂方程用来研究昆虫群体的繁殖规律。不过，他并不是简单地画出逻辑斯蒂方程的奇异吸引子而已。他的研究有他的独到之处，他感兴趣的是方程(3)中的参数k。

参数k的数值大小决定了混沌出现或者不出现！当k值比较小的时候，混沌销声匿迹无踪影，只有当k大到一定的数值时，混沌才现身。

我们仔细研究下面这幅图，来判断方程(3)是否具有混沌的行为。请注意！这里所说的行为是指长期行为。也就是说，我们需要研究的是：用方程(3)作迭代，当迭代次数趋于无穷时，群体数的最后归宿，是经典的还是混沌的？

上图中，绿色曲线，是罗伯特·梅的研究结果。他用绿色曲线画出了最后的相对群体数x_无穷随着k的增大而变化的情形。x_无穷是当n趋于无穷时 $x_n$的极限。大图下面的4个小图，则是在一定的k值下作迭代的过程。需要注意的是！ $x_i$是相对群体数，可以把它规定为是相对于一个最大的群体数N而言,比如，我们可以取 $N＝10000$，取绝对群体数的初值 $X_0=1000$，也就是说，某种生物最开始时有1000个，那么不难算出相对群体数的初值 $x_0=0.1$

由此，罗伯特·梅发现：对逻辑斯蒂方程来说，参数k的数值太重要了，增大k的数值可以让混沌这个魔鬼诞生出来！

从有序到混沌

从罗伯特·梅的图中，我们发现，可以将系统的长期行为归类于以下几种情况：

①当 $k<1$的时候， $x_n$的最后极限是0，表明出生率太低，出生的数目补偿不了死亡数，种族最终走向灭绝。

②当 $k>1$时,方程(3)的第一项使得群体数逐年增长，而第二项使得群体数不能增长到无限大。我们将k值从1到3的那段绿线称为“平衡”期，因为在这种情形下，生死速率旗鼓相当，最后的群体数将平衡于一个固定值。

③当 $k＝3.8$时，最后结果很奇怪，它不会收敛到任何稳定状态，而是在无穷多个不同的数值中无规则地跳来跳去。也就是说：魔鬼跳出来了，系统走向混沌。

上面的第一、二种情况，属于经典有序，第三种则为混沌。显然，我们最感兴趣的，是 $3\leq k \leq 3.8$这段。我们将这段的图片放大，进行进一步研究：

回到我们的标题，那么，逻辑斯蒂系统是如何从有序过渡到混沌的呢？

由上图可知，即使我们让k的数值平滑地增长，系统的长期行为却不平滑。

当k处于3附近的时候，系统来了个突变，原来的一条曲线分成了2支。然后，k的数值继续平滑地增长，到3.45附近时，原来的2条曲线分成了4支，再后来，分成了8支，16支……分支越来越多，最后分支之间的距离越来越短，以至于我们的眼睛无法清楚地分辨那些分支为止。

由此，罗伯特·梅得出了一个结论：混沌魔鬼是由这些越来越多的分岔现象产生出来的！

人们将这种分岔现象叫做倍周期分岔现象。

系统状态随着参数的变化从平衡走向混沌的过程，不仅仅出现在生态学中，而是一个普遍现象。倍周期分岔现象是系统出现混沌的先兆，最终会导致有序到无序，稳态向混沌的转变。

魔鬼与系统稳定性

逻辑斯蒂方程虽然看起来简单，只有1个变量、1个方程，但它却能表现出混沌系统的种种特征。麻雀虽小，五脏俱全，混沌魔鬼在这个简单系统中轻巧地跳出来，成为混沌研究者们的最爱。逻辑斯蒂系统还有一个其他系统少有的优点：它所对应的微分方程可以求得精确的解析解。而大多数非线性系统是无法得出精确解的，只能用迭代法来研究数值解的定性性质，以及解的稳定性。

通过上面对逻辑斯蒂方程的学习我们很清楚，混沌魔鬼的出现与参数 $k$的大小有密不可分的关系， $k$越大，魔鬼出现的几率就越大。

那么这是为什么呢？

我们知道， $k$是群体数的线性增长率( $k=1+(X_{n+1}-X_n)/X_n$)，与出生率有关。想到这点，我们恍然大悟：如果k比较大，群体繁殖得太多，数目增长太快，增加社会不稳定的因素，当然就容易造成混乱。

由此, 我们得出结论：混沌的产生的确与方程的稳定性有关

故，我们有必要研究系统状态的稳定性。哪种状态是稳定的？哪种状态是不稳定的？

我们先来看下面这幅小球图：

对小圆球来说，坡顶和坡谷都是重力场中可能的平衡状态。但是人人都知道，位于顶点的蓝色球不稳定，位于谷底的红色球很稳定。究其根源，是因为只要蓝色球开始时被放斜了那么一丁点儿，就会因不能平衡而掉下去。而红球呢，则不在乎这点起始小误差，它总能够滚到谷底而平衡。用稍微科学一点的语言来说，稳定就是对初值变化不敏感，不稳定就是对初值变化太敏感 。

研究三体问题的大数学家庞加莱，是微分方程定性理论的始创者。有关微分方程解的稳定性问题，则由另一位数学家李雅普洛夫首开先河。

如何来判定系统稳定与否？

李雅普洛夫想，可以用对重力场中两个小球是否稳定的类似判定方法。李雅普洛夫想，可以用对重力场中两个小球是否稳定的类似判定方法。更具体地说，我们可以将系统的最终结果x_无穷表示成初始值 $x_0$的函数，用图形画出来。系统的稳定性取决于这个函数图形的走向.

我们看到上图中有3条曲线，当 $\lambda < 0$时，则系统被认为是稳定的； $\lambda > 0$时，则系统被认为是不稳定的；而 $\lambda = 0$则是临界状态。这里的 $\lambda$便是李雅普洛夫指数。

我们来看看逻辑斯蒂系统的李雅普诺夫指数及对应的分岔图：

由上图可知，k值比较小的时候， $\lambda$小于0，系统处于稳定状态；从 $k＝3.0$开始，λ有时等于0，出现分岔现象 ，系统变到多态平衡，但仍然是稳定的，大多数时候， $\lambda$小于0；从 $k＞3.57$开始， $\lambda$开始大于0，系统不稳定，过渡到混沌。值得一提的是，在λ大于0的区间中，λ的数值还经常返回到小于0的数值。也就是说，混沌有时又变成有序，这对应于分岔图（黄色图像）中的空白地带。