《走近分形与混沌》读书笔记(part14)--单摆与混沌

学习笔记
学习书目：《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌 》-张天蓉；

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单摆与混沌

我们中学都学过单摆，都知道伽利略得出单摆在小幅度摆动时的运动规律：摆动的周期T只与摆长L有关，而与摆锤重量及摆幅大小无关。
$T=2 \pi \sqrt{L/g} \tag{1}$
四百年后，当洛伦茨用"蝴蝶效应"一次，扇起科学界的混沌风暴时，物理学家们也会过头去，认真思考单摆这种貌似简单的物理系统。

物理学家们早知道单摆运动定律的极限，单摆的等时性本来就是建立在摆动振幅比较小的时候的线性数学模型基础上。也许是线性模型在物理学中过于成功，导致很少有人去思考一个更符合实际情况的，非线性的，特别是在既有阻尼，又有外力作用下的单摆，将如何运动呢？

考虑公式(1)它是在一系列近似假设下得出的结论，这些假设条件包括：

1. 单摆是没有外力作用下的自由运动；
2. 单摆运动时没有阻尼和摩擦，也就是说，一旦摆起来，便永远摆下去；
3. 摆动角度很小，因此角加速度和摆动角度成线性关系。

如今，对单摆系统的研究表明：单摆的模型虽然简单，但在上述假设条件不成立的情况下，却能产生极其复杂、包括混沌在内的多种动力行为。

当观察一个既有阻尼，又有外加驱动力的单摆的运动，将会发现：

1. 当外加驱动力较小时，因为摆幅也小，单摆服从线性模型规律，比如等时性；

2. 当外加驱动力逐渐加大，单摆不再维持单一的振动频率，运动状态成为多个频率的组合，其中包含2倍频、4倍频……又同时还有不是倍数的、甚至于不能公约的其他频率……

3. 外加驱动力继续增大，单摆在振动的过程中，有时出现转动……

4. 外加驱动力增大到某个数值之后，出现转动的几率增大，单摆表现出无规律地交换振动和转动模式。一会儿振动，一会儿又转动，但其振动及转动的次数、位置、方向，看起来都是貌似随机的、不确定的, 这象征着混沌现身了。

以上所描述的单摆运动从有序走向混沌的过程，也可从其相空间轨迹的变化情形看出来。当外加驱动力逐渐增大时，原来的椭圆图形逐渐发生变化。开始时，如果单摆继续维持周期运动，相空间轨迹成为绕着中心转圈的封闭曲线。之后，曲线逐渐变形、破裂，表征转动模式的加入。再后来，破裂越来越多，发生得越来越频繁，最后产生混沌:

除了我们在描述逻辑斯蒂系统产生混沌中提到的倍周期分岔的途径之外，从单摆运动还可以观察到系统从有序过渡到混沌的多种途径，这个“条条大路通混沌”的特点在别的动力系统中也被观测所证实。

以下为几种常见的产生混沌的途径：

1. 倍周期分岔道路
2. 准周期道路
3. 阵发性混沌道路
4. 椭圆环面破裂道路