随机过程笔记(9) 瑞利分布和窄带高斯

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Rayleigh分布

定义

• F(x)自己积一下很快

期望和方差

• 这里对于期望的处理狠有意思

高斯分布的仿真

均匀分布可以仿真任意

均匀分布仿真瑞利分布

这里特地把U转换成1-U是为了上面的ln(1-y)里面的1-y抵消掉，比较好看

均匀+瑞利 仿真高斯分布

• 瑞丽+均匀 + 换元 导出 两个独立的高斯分布

• 这里怎么证X与Y是独立的

  • 一种方法是直接看出来这是两个的乘积
  • 严谨一点的就是分别求x和y的边缘分布然后相乘得到的就是f(x,y) --> f(x,y) =f(x) f(y) 所以是独立的
  • 另一种就是我自己的方法，这里可以看出联合分布的B是对角阵且特征值均为1 --》 协方差为对角阵即不相关 --》 高斯的不相关就是相互独立

• 反过来也是可以的 （高斯推瑞利和均匀）

窄带高斯

上半部分是之前的知识点

• 之前证明了线性时不变系统中，若输入( X (t) )是0均值的平稳，则输出(X^ (t) )也是0均值平稳的，且二者联合平稳( 在分别平稳的基础上，互相关函数与时间无关得证 )

• ?? 怎么就保证输入是高斯，输出也是高斯了呢？ 是线性时不变系统的特性还是？？

• 怎么联合高斯就推出联合高斯了呢？？ 联合高斯的意义？？

• 似乎是个结论： 若输入是高斯，则输出也是高斯，且输入和输出是联合高斯，然后由于Xs和Xc是输入和输出的线性变换，所以也是联合高斯

进一步

一般来说 ，联合高斯不是这个形式的，但是由于相互独立，所以就是这样

一维包络和一维相位分布

我们目前作的工作的出发点和思路

• 肖喜总结：若能知道Xs和Xc是独立的高斯分布，就可以返回去知道包络是瑞丽分布，θ是均匀分布。所以我们要求输入X(t)是高斯，这样输出也是高斯且二者联合高斯，从此可以推出Xs和Xc也是联合高斯。现在就差证明二者相互独立，我们就能回推包络和相位【然后上面的上面的那张ppt刚刚证明了】(作为联合高斯，只要不相关就是相互独立辣hhh)

qqq

• 联合高斯的意义？？
• 联合高斯的分量什么情况下相互独立来着？？

二维包络和二维相位分布

补充贝塞尔函数的性质

高斯过程通过非线性系统

背景 和 补充定理

背景

非线性系统有很多，这里我们就研究一下两个：

注意，输入时0均值的平稳高斯过程

补充定理

相当于一维的雅克比行列式了

平方器

数字特征

这里的 $EX^2(t)X^2(t+\tau)$就是四阶矩，利用之前两两配对的性质

密度函数

• 这里之所以能变成2F( $\sqrt(y)$)-1是因为 对于高斯过程来说 P(X<0) =0.5