高斯分布-笔记(1)

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1 -单变量高斯分布

单变量高斯分布概率密度函数定义为：

$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}exp\{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2\} \tag{1.1}$$
式中 $\mu$为随机变量 $x$的期望， $\sigma^2$为 $x$的方差， $\sigma$称为标准差：
$$\mu=E(x)=\int_{-\infty}^\infty xp(x)dx \tag{1.2}$$
$$\sigma^2=\int_{-\infty}^\infty(x-\mu)^2p(x)dx \tag{1.3}$$
可以看出，该概率分布函数，由期望和方差就能完全确定。高斯分布的样本主要都集中在均值附近，且分散程度可以通过标准差来表示，其越大，分散程度也越大，且约有95%的样本落在区间 $(\mu-2\sigma,\mu+2\sigma)$

2 - 多元高斯分布

多元高斯分布的概率密度函数。多元高斯分布的概率密度函数定义：

$$p({\bf x})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}|\Sigma|^\frac{1}{2}}exp\{-\frac{1}{2}({\bf x-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu})\} \tag{2.1}$$
其中 ${\bf x}=[x_1,x_2,...,x_d]^T$是 $d$维的列向量；
${\bf \mu}=[\mu_1,\mu_2,...,\mu_d]^T$是 $d$维均值的列向量；
$\Sigma$是 $d\times d$维的协方差矩阵；
${\Sigma}^{-1}$是 $\Sigma$的逆矩阵;
$|\Sigma|$是 $\Sigma$的行列式；
$(\bf x-\mu)^T$是 $(\bf x-\mu)$的转置，且
$$\mu=E(\bf x) \tag{2.2}$$
$$\Sigma=E\{(\bf x-\bf \mu)(\bf x - \mu)^T\}\tag{2.3}$$
其中 $\mu,\Sigma$分别是向量 $\bf x$和矩阵 $(\bf x -\mu)(\bf x -\mu)^T$的期望，诺 $x_i$是 $\bf x$的第 $i$个分量， $\mu_i$是 $\mu$的第 $i$个分量， $\sigma_{ij}^2$是 $\sum$的第 $i,j$个元素。则:
$$\mu_i=E(x_i)=\int_{-\infty}^\infty x_ip(x_i)dx_i \tag{2.4}$$
其中 $p(x_i)$为边缘分布：
$$p(x_i)=\int_{-\infty}^\infty\cdot\cdot\cdot\int_{-\infty}^\infty p({\bf x})dx_1dx_2 \cdot\cdot\cdot dx_d \tag{2.5}$$
而
$$\begin{eqnarray}\sigma_{ij}^2 &=&E[(x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j)]\\ &=&\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty(x_i-\mu_i)(x_j-\mu_j)p(x_i,x_j)dx_idx_j \end{eqnarray} \tag{2.6}$$
不难证明，协方差矩阵总是对称非负定矩阵，且可表示为：
$$\Sigma= \begin{bmatrix} \sigma_{11}^2 & \sigma_{12}^2 \cdot\cdot\cdot \sigma_{1d}^2 \\ \sigma_{12}^2 & \sigma_{22}^2 \cdot\cdot\cdot \sigma_{2d}^2\\ \cdot\cdot\cdot &\cdot\cdot\cdot\\ \sigma_{1d}^2 & \sigma_{2d}^2 \cdot\cdot\cdot \sigma_{dd}^2 \end{bmatrix}$$
对角线上的元素 $\sigma_{ii}^2$为 $x_i$的方差，非对角线上的元素 $\sigma_{ij}^2$为 $x_i$和 $x_j$的协方差。
由上面可以看出，均值向量 $\mu$有 $d$个参数，协方差矩阵 $\sum$因为对称，所以有 $d(d+1)/2$个参数，所以多元高斯分布一共由 $d+d(d+1)/2$个参数决定。
从多元高斯分布中抽取的样本大部分落在由 $\mu$和 $\Sigma$所确定的一个区域里，该区域的中心由向量 $\mu$决定，区域大小由协方差矩阵 $\Sigma$决定。且从式子（2.1）可以看出，当指数项为常数时，密度 $p(\bf x)$值不变，因此等密度点是使指数项为常数的点，即满足:
$$({\bf x}-\mu)^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu})=常数 \tag{2.7}$$
上式的解是一个超椭圆面，且其主轴方向由 $\sum$的特征向量所决定，主轴的长度与相应的协方差矩阵 $\Sigma$的特征值成正比。
在数理统计中，式子（2.7）所表示的数量：
$$\gamma^2=({\bf x}-\mu)^T{\Sigma}^{-1}({\bf x}-\mu)$$
称为 $\bf x$到 $\mu$的Mahalanobis距离的平方。所以等密度点轨迹是 $\bf x$到 $\mu$的Mahalanobis距离为常数的超椭球面。这个超椭球体大小是样本对于均值向量的离散度度量。对应的M式距离为 $\gamma$的超椭球体积为：
$$V=V_d|\Sigma|^{\frac{1}{2}}\gamma^d$$
其中 $V_d$是d维单位超球体的体积：
$$V_d=\begin{cases}\frac{\pi^{\frac{d}{2}}}{(\frac{d}{2})!},&d 为偶数\\ \frac{2^d\pi^{(\frac{d-1}{2})}(\frac{d-1}{2})!}{d!},d为奇数 \end{cases}$$

如果多元高斯随机向量$\bf x$的协方差矩阵是对角矩阵，则$\bf x$的分量是相互独立的高斯分布随机变量。

2.1 - 多变量高斯分布中马氏距离的2维表示

上面式2.7是样本点$\bf x$与均值向量$\bf \mu$之间的马氏距离。我们首先对$\Sigma$进行特征分解，即$\Sigma=\bf U\Lambda U^T$,这里$\bf U$是一个正交矩阵，且$\bf U^TU=I$，$\bf\Lambda$是特征值的对角矩阵。且：

$${\bf\Sigma}^{-1}={\bf U^{-T}\Lambda^{-1}U^{-1}}={\bf U\Lambda^{-1}U^T}=\sum_{i=1}^d\frac{1}{\lambda_i}{\bf u}_i{\bf u}_i^T$$
这里 ${\bf u}_i$是 $\bf U$的第 $i$列，包含了第 $i$个特征向量。因此可以重写成：
$$\begin{eqnarray}({\bf x-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu}) &=&({\bf x-\mu})^T\left(\sum_{i=1}^d\frac{1}{\lambda_i}{\bf u}_i{\bf u}_i^T\right)({\bf x-\mu})\\ &=&\sum_{i=1}^d\frac{1}{\lambda_i}({\bf x-\mu})^T{\bf u}_i{\bf u}_i^T({\bf x-\mu})\\ &=&\sum_{i=1}^d\frac{y_i^2}{\lambda_i} \end{eqnarray}$$
这里 $y_i={\bf u}_i^T(\bf x-\mu)$,可以看出，当只选择两个维度时，即可得到椭圆公式 :
$$\frac{y_1^2}{\lambda_1}+\frac{y_2^2}{\lambda_2}=1$$
其中该椭圆的长轴与短轴的方向由特征向量而定，轴的长短由特征值大小而定。
ps：所以得出结论，马氏距离就是欧式距离先通过 $\bf \mu$中心化，然后基于 $\bf U$旋转得到的。

2.2多变量高斯分布的最大似然估计

假设有$N$个iid的高斯分布的样本即${\bf x}_i$~$\cal N(\bf \mu,\Sigma)$，则该分布的期望和方差（这里是协方差）：

$$\hat\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{\bf x}_i=\overline{\bf x}\tag{2.2.1}$$
$$\begin{eqnarray}\hat{\Sigma} &=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N({\bf x}_i-{\bf\overline x})({\bf x}_i-{\bf\overline x})^T\\ &=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\left({\bf x}_i{\bf x}_i^T-{\bf x}_i{\bf \overline x}^T-{\bf \overline x}{\bf x}_i^T+{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T\right)\\ &=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\left({\bf x}_i{\bf x}_i^T\right)-2{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T+{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T\\ &=&\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\left({\bf x}_i{\bf x}_i^T\right)-{\bf \overline x}{\bf \overline x}^T \end{eqnarray}\tag{2.2.2}$$
为了求得他们的最大似然估计，需要预先知道如下知识：

图2.2.1 书mlapp上公式4.10
$${\bf x^TAx}=tr({\bf x^TAx})=tr({\bf xx^TA})=tr({\bf Axx^T})\tag{2.2.3}$$
因为多元高斯分布可写成:
$$p(d|\mu,\Sigma)= \frac{1}{{2\pi}^{d/2}}*|\Sigma^{-1}|^{1/2}*\exp\left[-\frac{1}{2}({\bf x-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({\bf x-\mu})\right]\tag{2.2.4}$$

$$\begin{eqnarray} \scr L({\bf \mu},\Sigma) &=&\log p(d|{\bf \mu},\Sigma)\\ &=&0+\frac{N}{2}\log|{\bf \Lambda}|-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N({{\bf x}_i-\mu})^T{\bf \Lambda}({{\bf x}_i-\mu}) \end{eqnarray}\tag{2.2.5}$$
这里 $\bf \Lambda=\Sigma^{-1}$是协方差矩阵的逆矩阵，也就是精度矩阵。
并假设 ${\bf y}_i={\bf x}_i-\mu$，采用链式求导法则,且按照图2.2.1第二个公式，得：
$$\begin{eqnarray} \frac{d}{d\mu}\left(\frac{1}{2}({{\bf x}_i-\mu})^T{\Sigma}^{-1}({{\bf x}_i-\mu})\right) &=&\frac{d}{d{\bf y}_i}\left({\bf y}_i^T\Sigma^{-1}{\bf y}_i\right)\frac{d{\bf y}_i}{d\mu}\\ &=&(\Sigma^{-1}+\Sigma^{-T}){\bf y}_i(-1)\\ &=&-(\Sigma^{-1}+\Sigma^{-T}){\bf y}_i \end{eqnarray}$$
且 $\Sigma$是对称矩阵，所以：
$$\begin{eqnarray} \frac{d}{d\mu}{\scr L}(\mu,\Sigma) &=&0+\frac{d}{d\mu}\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N({{\bf x}_i-\mu})^T{\bf \Lambda}({{\bf x}_i-\mu})\right)\\ &=&-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\left(-(\Sigma^{-1}+\Sigma^{-T}){\bf y}_i\right)\\ &=&\sum_{i=1}^N\Sigma^{-1}{\bf y}_i\\ &=&\Sigma^{-1}\sum_{i=1}^N({\bf x}_i-\mu)=0 \end{eqnarray}$$
从而， 多元高斯分布的期望为： $\hat \mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N{\bf x}_i$

因为

$\bf A_1B+A_2B=(A_1+A_2)B$
$tr({\bf A})+tr({\bf B})=tr(\bf A+B)$
所以
$tr({\bf A_1 B})+tr({\bf A_2 B})=tr[(\bf A_1+A_2)B]$
通过公式2.2.3，且假定 ${\bf S}_\mu=\sum_{i=1}^N({{\bf x}_i-\mu})({{\bf x}_i-\mu})^T$可知公式2.2.5可表示成：
$$\begin{eqnarray} \scr L({\bf \mu},\Sigma) &=&\log p(d|{\bf \mu},\Sigma)\\ &=&0+\frac{N}{2}\log|{\bf \Lambda}|-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^Ntr[({{\bf x}_i-\mu})({{\bf x}_i-\mu})^T{\bf \Lambda}]\\ &=&\frac{N}{2}\log|{\bf \Lambda}|-\frac{1}{2}tr({\bf S_\mu}{\bf \Lambda}) \end{eqnarray}\tag{2.2.5}$$
所以：
$$\frac{d\scr L(\mu,\Sigma)}{d{\bf \Lambda}}=\frac{N}{2}{\bf \Lambda^{-T}}-\frac{1}{2}{\bf S}_\mu^T=0$$
$${\bf \Lambda^{-T}}={\bf \Lambda^{-1}}=\Sigma=\frac{1}{N}{\bf S}_\mu$$
最后得到了 多元高斯分布协方差的期望值为:
$\hat{\Sigma} =\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N({\bf x}_i-{\bf\mu})({\bf x}_i-{\bf\mu})^T$

2.3 基于多元变量高斯分布的分类方法

1 - 各个类别的协方差都相等$\Sigma_{c_k}=\Sigma$:
并且可以直观的知道：

$$p(X={\bf x}|Y=c_k,{\bf \theta}) = {\cal N}({\bf x|\mu}_{c_k},\Sigma_{c_k}）\tag{3.1}$$
ps：基于第 $k$类基础上关于变量 $\bf x$的概率，就是先挑选出所有 $k$类的样本，然后再计算其多元高斯概率。且如果 $\Sigma_{c_k}$是对角矩阵(即不同特征之间相互独立)，则其就等于朴素贝叶斯。

且可知对于多分类问题，给定一个测试样本其特征向量，预测结果为选取概率最大的那个类别：

$$\begin{eqnarray}\hat y({\bf x}) &=&arg\max_{c_k}P(Y={c_k}|X={\bf x})\\ &=&arg\max_{c_k}\frac{P(Y={c_k},X={\bf x})}{P(X={\bf x})} \end{eqnarray}\tag{3.2}$$
因为对于每个类别计算当前测试样本概率时，分母都是相同的，故省略，比较分子大的就行，也就是联合概率大的那个，从而式子3.2等价于：
$$\hat y({\bf x})=arg\max_{c_k}P(X={\bf x}|Y={c_k})P(Y={c_k})$$
而所谓LDA，就是当每个类别的协方差都相等，即 $\Sigma_{c_k}=\Sigma$,所以:
$P(X={\bf x}|Y={c_k})=\frac{1}{(2\pi)^{d/2}|\Sigma|^{1/2}}\exp[-\frac{1}{2}({\bf x-\mu}_{c_k})^T\Sigma^{-1}({\bf x-\mu}_{c_k})]$
$P(Y={c_k})=\pi_{c_k}$
从而，可发现：
$$\begin{eqnarray}P(Y={c_k}|X={\bf x}) \quad &正比于& \pi_{c_k}\exp[-\frac{1}{2}({\bf x-\mu}_{c_k})^T\Sigma^{-1}({\bf x-\mu}_{c_k})]\\ &=&\pi_{c_k}\exp[-\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}+\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}]\\ &=&\pi_{c_k}\exp[-\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}+{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}]\\ &=&exp[{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\log\pi_{c_k}]exp[-\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}]\\ &=&\frac{exp[{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf x}-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\log\pi_{c_k}]}{exp[\frac{1}{2}{\bf x}^T\Sigma^{-1}{\bf x}]} \end{eqnarray}$$
从而上式的分母又可以省略
假定 $\gamma_{c_k}=-\frac{1}{2}{\bf \mu}_{c_k}^T\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}+\log\pi_{c_k}$，而 $\beta_{c_k}=\Sigma^{-1}{\bf \mu}_{c_k}$
从而:
$$P(Y={c_k}|X={\bf x})=\frac{exp({\beta_{c_k}^T{\bf x}+\gamma_{c_k})}}{\sum_{k=1}^{|c|}exp({\beta_{c_k}^T{\bf x}+\gamma_{c_k})}}=S(\eta)_{c_k}$$
这里 $\eta=[{\beta_{c_1}^T{\bf x}+\gamma_{c_1}},{\beta_{c_2}^T{\bf x}+\gamma_{c_2}},...,{\beta_{c_|c|}^T{\bf x}+\gamma_{c_|c|}}]$,可以发现它就是一个softmax函数，即：
$$S(\eta)_{c_k}=\frac{exp(\eta_{c_k})}{\sum_{k=1}^{|c|}exp(\eta_{c_k})}$$
softmax之所以这样命名就是因为它有点像max函数。
对于LDA模型，假设将样本空间划分成n个互相独立的空间，则线性分类面，就是该分类面两边的类别预测概率相等的时候，即：
$P(Y={c_k}|X={\bf x})=P(Y={c_k'}|X={\bf x})$
$\beta_{c_k}^T{\bf x}+\gamma_{c_k}=\beta_{c_k'}^T{\bf x}+\gamma_{c_k'}$
${\bf x}^T(\beta_{c_k'}-\beta_{c_k})=\eta_{c_k'}-\eta_{c_k}$

参考资料：
[] 边肇祺。模式识别 第二版
[] Machine learning A Probabilistic Perspective
[] William.Feller, 概率论及其应用(第1卷)