1.1现金和银行存款的时间价值

银行存1元，未来的任意时刻，账户里除1，还得到利息。
如果年利率是 $r$ ，且每年计息一次，一年后得到

$（1+r）$

半年计息一次。半年后存款为
$（1+\frac{r}{2}）$
并且作为下次计息的本金，再过半年银行的存款将会是
$(1+\frac{r}{2})^{2}$
每个月计息一次，那年末存款
$(1+\frac{r}{12})^{12}$
当计息频率无穷大时，收益是
$\lim_{n \to \infty}(1+\frac{r}{n})^{n}=e^{r}，e=2.718\cdots$
称连续复利计息

在这里插入图片描述

利率为常数 $r$ 时，且连续复利计息时，0时刻开始，到 $t$ 时刻银行存款价值为
$\lim_{n \to \infty}(1+\frac{r}{n})^{nt}=e^{rt}$
$t$ 时刻的1美元，在0时刻是 $e^{-rt}$ 元。

如果 $r$ 随时间变化，就有随时间变化的利率函数 $r(s)$ ，称短期利率
连续复利计息情况下。
存款变为
$e^{(\int_0^t r(s)ds)}$
$t$ 时刻的1，0时刻就是
$e^{(-\int_0^t r(s)ds)}$

银行账户时讨论金融问题的一个基本的参照点，因为这种资产可以带来没有任何风险的收益。
当一种投资带来的收益要小于银行存款利率并且还带有亏损的话，那么决策从金融角度讲将是愚蠢的。

除银行账户外还有另一个基本的参照点，
- 那就是无息债券。
无息债券是有固定收益的债券，
- 本金只在最终的到期日付给投资人，中间没利息。
这里考虑无风险的债券，美国的发行的国债在市场上认为没有风险。
- 由于这种债券没有利息，初始价格自然要少于本金，
- 但初始价格到底是多少取决于从现在至到期日的利率。
$T$ 时刻到期的本金为1的无息债券在 $t$ 时刻的价值记为
$B(t,T) 或者 B_{t}(T)$
当利率非随机的并等于常数 $r$ 时，那么初始价格是
$B(0,t)=e^{-rt}$
当利率是非随机,一个时间函数 $r(s)$ ，那么初始价格只能是
$B(0,t)=e^{(-\int_0^t r(s)ds)}$
如果短期利率是随机的，那么 $B(0,t)=e^{(-\int_0^t r(s)ds)}$ 也是随机的，而不是一个确定的东西。然而，市场上是时时刻刻交易着无息债券的（也可以从有息债券中组合得到），故而无息债券应该是短期利率的某种概率下的期望，我们写成
$B(0,t)=E(e^{(-\int_0^t r(s)ds)})$
如果想要模拟某种短期利率下的未来行为，那上式应该是一个约束。
$B(0,t)$ 的值已经在市场上给出，那么我们就可以根据上式将其转化为一种连续复利利率，如下
$B(0,t)=E(e^{(-\int_0^t r(s)ds)})=e^{-r(0,t)t}$
这样，对一个时间 $t$ ，就会有一个连续复利利率 $r(0,t)$ 。这个 $r(0,t)$ 在时刻0我们就可以知道的。但是短期利率 $r(t)$ 我们必须到时刻 $t$ 才可以知道，在现在看来，他只是一个随机变量。
无息债券的初始价格与连续复利利息之间可以相互转换，
- 给出了无息债券的初始价格，也就是给出了连续复利利率。

图1.2: 美国国券的在不同年度到期的利率。
一年,两年,直至三十年的利率都不同
本书中,多数情况下,都假设利率不变。
一个原因是为了简单起见,
另外一个原因是本书主要讨论的对象是股票衍生产品,
- 而在股票衍生产品中,股价的变化是占第一位的,
- 利率的变化是占第二位的,
- 所以,我们可以忽略利率的变化而假定它们都相同。

在这里插入图片描述

$B(0,t)=B_{0}{(t)}$ 为贴现因子
$r(0,t)$ 贴现率
把未来的现金价值换算成现在的现金价值是一个很重要的原理。

$t_1,t_2,......t_n$

有现金流
$c_1,c_2,......c_n$
且从0到 $t_i$ 时刻的连续复利率为
$r_1,r_2,......r_n$
未来现金流的折现值就是
$e^{-r_1t_1}c_1+e^{-r_2t_2}c_2+...+e^{-r_nt_n}c_n$
也把他称为现金流的折现值

退休养老金产品，
每年付现金 $c$ 。
假定贴现利率为 $r$ ，
按照连续复利和计算贴现之后，所有未来现金流的净现值成为：
$ce^{-r}+ce^{-2r}+...+ce^{-nr}+...=\frac{ce^{-r}}{1-e^{-r}}$

除连续复利，还用离散复利
也就是以年为单位计算利息。
此时 $t$ 时刻的贴现因子为
$\frac{1}{(1+r)^t}$
在离散复利计息条件下，第6部分的现金流的净现值是
$\frac{c}{r}$
这个有啥意思呢？在房地产行业，尤其是出租型的商业地产，人们为了计算它的价值，经常假设一个年出租的净收益，然后用某个离散复利的贴现利率贴现所有的未来净收益。
如果每年净收益是 $r$ ，贴现利率是 $r$ ，那么未来净收益的贴现值将是 $c/r$ ，这个值常用来给商业地产的交易定价。可以看到， $r$ 越大，交易值越低， $r$ 越小，交易值越高。

1.2均值、标准差及波动率

给定一列样本
$s_1,s_2,......s_n$
均值定义为
$\bar s=\frac{s_1+s_2+...+s_n}{n}$
在数学上我们也叫他算术平均(Arithmetic Average)
其方差被定义为
$v=\frac{(s_1-\bar s)^2+(s_2-\bar s)^2+...+(s_n-\bar s)^2}{n}$ .
标准差
$d=\sqrt{\frac{(s_1-\bar s)^2+(s_2-\bar s)^2+...+(s_n-\bar s)^2}{n}}$
有时候，方差和标准差也这样写
$\bar v=\frac{(s_1-\bar s)^2+(s_2-\bar s)^2+...+(s_n-\bar s)^2}{n-1}$ .
$\bar d=\sqrt{\frac{(s_1-\bar s)^2+(s_2-\bar s)^2+...+(s_n-\bar s)^2}{n-1}}$
事实上， $\bar v$ 是方差的无偏估计。

第2部分
另一个概念是波动率(volatility)。比方说，你从0时刻到 $t$ 时刻做了一定投资，资产由 $S_0$ 变为 $S_t$ ，那么这次的收益为：
$r=\frac{S_t-S_0}{S_0}$
给定资产价格 $S$ ，我们看一下他的价格经过等时间的变化情况，设
$t_0<t_1<...<t_n，\Delta t=t_i-t_{i-1}$
资产在这些时刻的价格分别为
$S_0<S_1<...<S_n$
我们不去研究价格本身，我们先看他的简单收益：
$r_1=\frac{S_1-S_0}{S_0}...r_n=\frac{S_n-S_{n-1}}{S_{n-1}}$
也可以考虑对数收益(log return )
$r_1=log(\frac{S_1}{S_0})...r_n=log(\frac{S_{n}}{S_{n-1}})$
实际上，简单收益就是对数收益的一阶近似。
收益的均值：
$\bar r=\frac{r_1+r_2+...+r_n}{n}$
收益的方差被定义为：
$v=\frac{(r_1-\bar r)^2+(r_2-\bar r)^2+...+(r_n-\bar r)^2}{n}$ .
波动率：
$\sigma=\sqrt{\frac{(r_1-\bar r)^2+(r_2-\bar r)^2+...+(r_n-\bar r)^2}{n}}$ .

第3部分
注意！尽管这些公式与样本方差和标准差相似，但是描述的对象不一样。
波动率描述的是一个随机运动的路径的波动状况。波动率越大，路径的起伏应该越大；
如果波动率为0，则所有单位间隔的资产的简单收益都是常数，所以，资产的路径是一条直线。
金融中，我们可以讨论未来某一确定时刻 $t$ 资产价格的标准差。
但是，当我们讨论一个时间序列时候，我们讨论他的波动率，因为波动率显示的是每一条路径的波动情况。
我们还经常把波动率以年为单位折算，即
$\sigma=\frac{1}{\sqrt{t}}\sqrt{\frac{(r_1-\bar r)^2+(r_2-\bar r)^2+...+(r_n-\bar r)^2} {n}}$ .
这叫做平方根法则。