写在前面
老朋友西班牙理工大学教授Ignacio Ozcariz先生告诉我他们的RQuanTech公司研发除了一款新的基于量子计算的金融计算模型。即一个金融衍生品蒙特卡罗定价的量子算法。获得Ignacio教授授权后我将论文的内容发表在博客中。
另外，从2月15日Ignacio教授的来信原文如下：
“下周一我将在日内瓦为Pictet银行举行大型演示。该银行管理着五万亿美元。我将演示50个Qbits的PEA相位估计算法，在大约30秒内运行60次。因此就蒙特卡罗算法2 ^ 50 * 60模拟而言。对于世界上最强大的计算机来说，150 petaflops和15 MW功率的中国人将需要几个小时的时间。对我来说，我将使用我的平板电脑三星进行演示。”
希望能够完美完成这个演示任务，也代表了新一代量子计算能够进入商业场景，实现商业化的第一步。
论文部分如下：
一种金融衍生品的蒙特卡洛定价量子算法。
前言
RQuanTech开发了一种用于金融应用的创新和破坏性量子算法。
在本演示中，我们展示了如何在量子叠加中准备相关的概率分布，可以通过RQuanTech量子算法实现收益函数，并且可以通过量子测量来提取金融衍生物的价格。 我们展示了如何应用幅度估计算法来实现以高置信度获得价格估计所需的步数的二次量子加速。
背景介绍
在当今的金融市场上，参与者们使用了大量的计算资源。其中一些资源用于金融资产及其衍生品的定价和风险管理。这些金融资产包括通常的股票，债券商品以及在此基础上构建金融衍生品等更复杂的合约。金融衍生工具是具有未来收益的合约，其取决于一个或多个基础基准资产的未来价格或价格轨迹。对于这些衍生工具，由于相关资产的随机性，一个重要问题是根据市场的可用信息分配公平价格，简而言之就是所谓的定价问题。著名的Black-Scholes-Merton（BSM）模型可以通过使用少量输入参数的简单且可解析的可解模型对各种金融衍生品进行定价。
目前有大量研究致力于扩展BSM模型，包括复杂的支付函数和基础随机资产动态的复杂模型。尤其是蒙特卡罗方法在科学领域有着悠久的历史。一些最早的已知应用是在洛斯阿拉莫斯项目的背景下制作的，该项目使用早期计算设备，例如ENIAC。对于金融中的定价问题，主要挑战是计算一个或多个基础随机金融资产的函数的期望值。对于超出BSM的模型，此类定价通常通过蒙特卡罗评估来执行。
量子计算承诺为各种任务提供算法加速，例如分解或优化。量子傅立叶算法与RQuanTech实现的Shor算法相结合，可以扩展和推广到函数优化，幅度放大和估计，积分，基于量子行走的元素清晰度方法，以及马尔可夫链算法等。特别地，幅度估计算法可以提供接近二次加速度以估计期望值，并且因此提供对经典地使用蒙特卡罗方法的问题的加速。
RQuanTech提出了如何将量子计算用于定价问题的新视角。我们结合众所周知的量子技术，如通过振幅估计和蒙特卡罗量子算法与金融衍生品的定价。我们首先展示如何获得金融衍生物的期望值作为量子算法的输出。为此，我们展示了在量子计算机上设置财务问题所需的成分：计算支付函数的基本算术运算、财务中使用的模型概率分布的准备、以及通过估算期望值的成分。在ancilla量子比特上的印迹相位。示出了如何通过幅度估计算法获得二次加速。通过以下我们提供的证据表明，可以实现对其定价的二次加速。
经典蒙特卡洛定价
蒙特卡洛金融衍生品的定价以下列方式进行：假设风险中性概率分布是已知的，或者可以从校准到市场变量获得。 从风险中性概率分布中获取市场结果，根据市场结果计算资产价格，然后根据资产价格来计算期权收益。我们通过平均多个样本的收益来获得衍生价格的近似值。
假设单个基准资产的欧式期权，并且让真实期权价格为P，P’是从k个样本获得的近似值。 假设支付f（St）的随机变量以方差为界，比如 V [f (St)] < λ² ，那么，价格估计P’ε远离真实价格的概率由切比雪夫的不等式确定 [|P’-P| ≥ ε] ≤ λ² / k ε² 。因此，为了获得恒定的成功概率，我们需要 k=O(λ² /ε²)来进行样本来估计附加误差ε。 因此，量子算法的任务是改善从ε2到ε的ε依赖性，从而为给定误差提供二次加速。在我们提出用于导数定价的量子算法之前，我们展示了如何将期望值编码为量子算法以及如何获得与经典算法相同的ε依赖性。 然后，我们通过使用幅度估计的基本量子算法来显示二次加速。
蒙特卡洛的量子算法
我们利用量子振幅估计来对金融衍生工具进行量子蒙特卡罗定价。
（a）由单一的n + 1量子比特相位的计算以F := R(A ⨂ I₂) 表示，简单单一自旋
（b）Q：= US的动作的可视化，其中S = VUV且U = FZF†，在任意状态下| ψ >在χ和V（χ）的范围内。 首先， - S 作用于量子 | ψ > ，使其沿着V（χ）进行反射，然后得到中间状态 -S | ψ > 。 然后，-U其通过沿着加密的 3 | χ > 进行反射来作用于量子 -S | ψ> 。最终得到的量子 Q |χ> 其结果状态在| x>和|χ→超平面中逆时针旋转2θ角度。
（c）这里是一个相位估计电路。 这里，A通过在| x>中准备叠加来编码随机性，而R将随机变量编码为ancilla量子比特的| 1>状态。 两个步骤之后的输出是多量子位状态|χ>。 然后通过调用相位估计来进行幅度估计，以在量子比特的寄存器中编码旋转角度θ，该量子比特的寄存器被测量以获得估计^θ。
（d）为了定价欧式看涨期权，由A（或等效G）准备的叠加是x中的正态分布的离散化，具有固定的截止值（例如，c = 4），近似于标的资产的布朗运动。 在这种情况下，R编码看涨期权的收益。
结论
我们已经描述了金融衍生品定价的量子算法。 我们假设基础随机变量的分布，即鞅测量，是已知的，并且可以有效地准备相应的量子态。
此外，我们假设导数支付函数的有效可计算性。 在这些假设下，我们展示了估计衍生物价格所需的样本数量的二次加速直到给定误差：如果期望的精度是ε，那么经典方法显示样本数量的1 /ε²依赖性， 而RQuanTech量子算法表征了1 /ε依赖性。
进一步的考虑因素
蒙特卡洛模拟在管理金融机构面临的风险方面发挥着重要作用。特别是在2008到2009年金融危机之后，复杂的风险管理对于金融机构内部和政府监管机构的要求越来越重要。
这种风险分析属于所谓的估值调整（VA）或XVA的范畴，其中X代表所考虑的风险类型。一个例子是CVA，其中交易对手信用风险被建模。这种估值基于该金融合约中的对手方用尽货币的风险来调整衍生工具的价格。
XVA计算是处理复杂衍生工具（例如基于利率的衍生工具）的金融机构的团体（“办公桌”）的主要计算工作。对于复杂的金融衍生品，此类风险管理涉及大量的蒙特卡罗模拟。不同的蒙特卡罗运行评估了各种情景下衍生品的价格。确定整个服务台组合的风险通常需要根据各种风险情况进行一夜之间的价格计算。
RQuanTech Quantum算法为这种计算提供了显着的加速。原则上，隔夜计算可以缩短到更短的时间尺度（例如分钟），这将允许更实时的风险分析。这种接近实时的分析将使您的公司能够更快地对不断变化的市场条件做出反应并从交易机会中获利。
RQuanTech可以帮助您的公司在这个勇敢的新量子世界中最大化您的机会。