leetcode_22【动态规划】---- 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：

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• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

解答（C++）：

思路：在m+n中寻找n条路径，数学的组合问题C（m+n,n）

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        // [0] 数学法: 在(m-1 + n-1)中寻找m-1
        if (m == 1 || n == 1)
            return 1;
        if (m > n)
            swap(m, n);//保证m<=n
        unsigned long long int temp = 1;
        unsigned long long int result = 1;
        for (int i = 1; i <= m-1 ; i++)
        {
            temp *= i;
        }
        for (int i = n; i <= m + n - 2; i++)
        {
            result *= i;
        }
        result = result / temp;
        return result;
    }
};

思路：归纳法，每个节点只可以从左边或者上面过来，路径数 = 左边邻节点 + 上面邻节点

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        // [1] 归纳法
        vector<vector<int>> vvec(m);
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            vector<int> vec(n);
            vvec[i] = vec;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if ( i==0 || j==0 ) {
                    vvec[i][j] = 1;
                } else {
                    vvec[i][j] = vvec[i-1][j] + vvec[i][j-1];
                }
            }
        }
        return vvec[m-1][n-1];
    }
};