图是什么
图由顶点（vertex 或 node）和边 ( edge ) 组成，顶点的集合是V，边的集合是E的图记为G = (V,E）。连接两点u和v的边用e = (u,v)表示。
1.图的种类
大体分为无向图和有向图。
我们可以给边赋予各种各样的属性。比较具有代表性的有权值( cost )。边上带有权值的图叫做带权图。在不同问题中，权值可以代表距离、时间以及价格等不同的属性。
2.无向图的术语
两个顶点之间如果有边连接,那么就视为两个顶点相邻。相邻顶点的序列称为路径。起点和终点重合的路径叫做圈。任意两点之间都有路径连接的图叫做连通图。顶点连接的边数叫做这个顶点的度。
没有圈的连通图叫做树( tree ),没有圈的非连通图叫做森林。- -棵树的边数恰好是顶点数-1。反之，边数等于顶点数- 1的连通图就是一棵树。
如果在树上选择-一个顶点作为根( root),就可以把根提到最上面，而离根越远的顶点越往下安排其位置。这样的树叫做有根树。
不过，对于无根树,有时选择适当的顶点作为根使之变成有根数，可以使问题得到简化。
3.有向图的术语
没有圈的有向图叫做DAG ( Directed Acyclic Graph)。例如，让我们用顶点表示整数，n能整除m时从n向m连一条边的图， 这就构成-个DAG。 像下图-样，在DAG中我们可以给顶点标记一个先后顺序。
对于每个顶点我们给它一个编号， 第1号顶点叫做v。那么存在从顶点v到顶点y的边时就有i<j成立，这样的编号方式叫做拓扑序。
如果把图中的顶点按照拓扑序从左到右排列，那么所有的边都是从左指向右的。
因此，通过这样的编号方式，有些DAG问题就可以使用DP来解决了。求解拓扑序的算法叫做拓扑排序。
图的表示
为了能在程序中对图进行处理,需要把顶点和边用具体的数据结构存储下来。在图的表示方法中，比较具有代表性的有邻接矩阵和邻接表。需要注意的是,两种表示方法都有各自的优缺点，根据问题的不同，使用不同的存储方式可能会影响算法的时间复杂度。
1.邻接矩阵
邻接矩阵使用 |V| x |V| 的二维数组来表示图。g[i][j]表示的是顶点i和顶点j的关系。
- 无向图中，只需知道“顶点i和顶点j之间是否有边连着”这样的信息，因此如果顶点i和顶点 j之间有边相连，那么g[i[j]和g[j][i]就设为1,否则设为0。这样就可以表示一个
无向图了。
- 有向图中，只需要知道“是否有从顶点i发出指向顶点j的边”这样的信息，因此如果顶点i有一条指向顶点的边，那么g [i] [j]就设为1，否则设为0。这样就可以表示一个有向图了。有向图与无向图不同，并不需要满足 g[i] [j] = g[j] [i]。
- 带权图中，g[i][j]表示的是顶点到顶点j的边的权值。由于在边不存在的情况下，如果将g[i][j]设为0，就无法和权值为0的情况区分开来，因此选取适当的较大的
常数INF(只要能和普通的权值区别开来就可以了),然后令g[i][j] = INF就好了。
当然，在无向图中还是要保持 g[i] [j] = g[j] [i]。
- 此外，两点之间
有重边或者某个顶点有自环(参照下图)的情况需要特别注意。在无权图中，只需要设g[i][j]为顶点i到顶点j的边数即可;
但是在带权图中却无法这样。大部分情况下，只需要保存权值最小(最大)的边就可以了，所以在这种情况下可以无视其他的边。必须保存所有的边时，可以使用邻接表。
2.邻接表
用邻接矩阵表示稀疏图会浪费大量内存空间。
而在邻接表中，是通过把“从顶点0出发有到顶点2, 4, 5的边”这样的信息保存在链表中来表示图的。这样只需要O(|V|+IE|)的内存空间。
3.小结
稀疏图使用邻接表处理较好。能大大降低（相比于使用邻接矩阵处理）空间复杂度。
