二分图前期基础知识

本文重点工作不在于对算法进行研究，而是对研究前的一些基础知识的补充与完善

二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 U 和V ，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。

匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。

例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。

极大匹配(Maximal Matching)：指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

最大匹配(maximum matching)是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。完全匹配，也称作完备匹配。

举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。

关于匹配过程中的增广路径推荐这篇文章https://www.cnblogs.com/logosG/p/logos.html

匈牙利算法：

匈牙利算法几乎是二分图匹配的核心算法，除了二分图多重匹配外均可使用

匈牙利算法实际上就是一种网络流的思想，其核心就是寻找增广路。具体操作就是嗯。。拉郎配

注：以下转自 http://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

-------等等，看得头大？那么请看下面的版本：

通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉快哭了），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

===============================================================================

一：先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线

===============================================================================

二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it

===============================================================================

三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配()重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

2号男生可以找3号妹子~~~ 1号男生可以找2号妹子了~~~ 3号男生可以找1号妹子

所以第三步最后的结果就是：

===============================================================================

四：接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。

===============================================================================

这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最最关键的字就是“ 腾”字

其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上

hdu2063：

hdu2063就是一道裸二分图最大匹配的问题，直接上匈牙利算法即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=505;
int line[N][N];
int girl[N],used[N];
int k,m,n;
bool found(int x)
{
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(line[x][i]&&!used[i])
        {
            used[i]=1;
            if(girl[i]==0||found(girl[i]))
            {
                girl[i]=x;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    int x,y;
    while(scanf("%d",&k)&&k)
    {
        scanf("%d %d",&m,&n);
        memset(line,0,sizeof(line));
        memset(girl,0,sizeof(girl));
        for(int i=0; i<k; i++)
        {
            scanf("%d %d",&x,&y);
            line[x][y]=1;
        }
        int sum=0;
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            memset(used,0,sizeof(used));
            if(found(i)) sum++;
        }
        printf("%d\n",sum);
    }
    return 0;
}

PS：笔者能力有限，期望各位大佬能指正，其中匈牙利算法转以下转自 http://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547