Lec 20 - Disjoint Sets
上面三章主要讲的是算法复杂度，这对于中国学生来说还是比较简单的，直接暴力数组求和，注意循环起止条件即可。不过还是要多加练习。从这章开始就是高阶的数据结构的讲解了。
Disjoint Sets
本章的思路是先提供一个ADT，然后用几种方法来实现它，比较它们性能的差异。
实现如图所示的两个功能：连接两个items p和q的方法connect(p, q)，检查两个items是否相连的方法isConnected(p, q)。
Disjointed Sets(并查集) 的概念就是，将几个元素依次相连，则这几个元素彼此都可视为connected；如果将两个彼此相连的数据集分别挑两个元素相连，那么这两个数据集中所有元素connected。
可见是类似于集合的性质，不关心顺序，只关心元素是否在这个集合中。
Quick Find
这一步首先要实现tracking of sets。
首先想到的是将各个数据集进行编号，如果connect两元素，将所属的集合也进行合并，判断是否connected就看是否在一个集合中。为此，需要保存各个元素的值以及对应的集合，很容易想到，用一个Map<Integer(value), Integer(Set num)> 来实现。但是说这种类型效率也不高。如果用HashTable的话，isConnected很容易，只有O(1)，connect倒是麻烦了点，需要变换所有同集合的集合编号，遍历整组数据，有O(n)的复杂度。可我觉得这种类型还不错啊，josh现在没说为什么不用这种类型。
他第一个给出的方法是这样：
建一个set的list。明显不行，复杂度很高。并且编代码也很复杂，isConnected好说，connect不好搞，复杂度如下：
改进的方法：
建一个数组，编号代表value，值代表Set Number，很聪明
同样的，isConnected代码编写比较简单，而且速度快只有O(1)，但connect比较慢，还是需要遍历整组数据，有O(n)的复杂度。
继续改进connect方法。
Quick Union
首先考虑这个问题，怎样才能使connect方法只用改变一个值？(现在需要改变整个集合的值）
我不知道你们想出来没，我反正是没想出来。
答案是将数组的值变为parent，当前元素连接的上一个元素。为什么没想到？因为这倒是改变了一个值，但是如果想connect(5, 2)，能只将id[5]变为2么？？当然不行，那样5和3的连接就丢了。得这么搞：
先找到5的root3，然后找到2的root0，最后将3和0连起来，这尼玛是改变一个值了，但还是很复杂啊。。。
复杂度的问题先搁置一边。为什么不直接将3和2连起来呢？因为当不断连接时，tree的高度会不断升高，找root的复杂度也会越来越高。
上图为QuickUnion的算法。这是一个让tree变得越来越胖的算法。
总结一下三种方法的复杂度。QuickUnion的复杂度其实是取决于tree的高度，如果能良好的控制高度，变成一个胖胖树，复杂度可以降到常数。
由上文已知为了让树变胖，需要将root相连，但是连接的顺序呢？
Weighted Quick Union
当然是把小树连在大树上了！
所以，现在需要一个反应树大小的值。有两种方式：第一种将代表root的负数设为多个值，显示各个树的大小差异；第二种另外建一组代表大小的数据。
考虑它的复杂度。上图是最大化树高度的例子，可见树高度最高为Θlog(N)。得到复杂度。
那么为什么不直接用height作为标准连接两个树？因为height不好获得，而且复杂度想一想，依然是O(log(N))。
Path Compression
还能不能做的更好呢！
当要connect(15, 10)的时候，将所有经过的元素的root都指向0。
