Lec 22 - B Tree
上节课讲了二叉树，但是并没有讲二叉树是怎样建立的。如果不规定一种建立方式，那么有可能建出一个极高的二叉树，极限情况下会变成链表，失去了二叉树的意义。这节课主要为了优化这个问题，提出一种新的树形结构——B Tree。
Height, Depth and Performance
树的高度决定了找到某节点的最长时间，上图高度就是k - s，不算k本身，为4。
平均深度决定找到某一结点需要的平均时间。
上图为一个插入数据的顺序影响二叉树的高度的例子。如果从小到大插入数据，则数据会依次插入父节点的右侧，形成一个链表，这时的高度最大，为O(N)。当按照二分法的顺序进行插入，就能得到最完美的二叉树，高度是O(log(N))。
但是现实世界中插入数据的顺序是确定的么？肯定不是，不能要求每次插入的数据都符合二分法的顺序。
首先考虑随机插入的情况：
经证明，随机插入时树的高度为Θ(log(n))，据说证明很复杂。平均深度为Θ(log(n))。
但是并不是所有插入都是随机的。
比如需要按时间顺序来插入，就成了典型的从小到大，会插成链表。于是要定义插入的方式来解决。
2-3-4 and 2-3 Tree Operations(B-Trees)
防止树的高度过高，那么不往底部继续添加数据高度就不会变了对不对？那么加到哪里呢？
加到最后一行的叶子上？将此节点变得可以容纳多个数据，如上图，这样树的高度一直不会变。但明显很蠢，等于又造了个链表出来。
然后提出新的方案：设定节点最多容纳数据的数量，比如3，如果插入的数据数量超过三，则选择一个数据插入到父节点上。但是这样做有一个问题，那就是并不满足开始二叉树的定义，即大于右子树的所有值。如上图，选择17加入父节点，17就会大于右子树的16。怎样解决？
答案是变成3个children，加入一个中间节点。
继续加入20， 21。该节点数据数量大于3，选择19加入父节点，然后将18变到17， 19中间，20，21放在19的右边。（所以不是只能有三个children?）
继续加入25， 26。如图，右下角节点数据数量超过3，则将21加入父节点并更新位置。父节点的数量也超过3，将17加入爷节点（(￣▽￣)"），再更新位置。这种数据结构就称之为B Tree。（意思可能是Balanced Tree，但Josh觉得叫Split Tree更合适一些）
可见，B Tree使树变得平衡了，leaf和root都不会变得太大，树的高度也不会太高。
当L=3时，B Tree也被称之为2-3-4 tree（见标题）。2-3-4的意思是每个节点容纳的子节点的数量。是不可能只有一个子节点的。
B-Tree Bushiness Invariants
由于B-Tree构造的规则，得到了两个Invariants。
- 所有的leaf(底层节点）距离source（顶部）的距离是相同的。
- 一个具有k个数据的节点拥有的子节点的数量一定是k+1
虽然不好证明，但是想一想肯定是对的。下面就分析复杂度了。
B-Tree Runtime Analysis
如图，B-Tree高度最高时，每个节点只有一个数据，则每个节点有两个子节点。计算得到树的高度是log(N)。
B-Tree高度最低时，每个节点有L个数据，则每个节点有L+1个子节点，计算得到树的高度是logL+1(N)。
因此，B-Tree 的Overall Height是Θ(log N)。（log随便换底）
计算好了高度，分析contain方法的复杂度很简单，为O(log N)
add也一样。
