状压dp题解

数位dp题解：

A. 特殊方格棋盘

• 题意：在\(n\times n\)的方格棋盘上放置n个车，某些格子不能放，求使它们不能互相攻击的方案总数。注意：同一行或同一列只能有一个车，否则会相互攻击。

• 分析：

  • 首先，每一行只能有一个车，只要一行行地放，每行只放一个，保证同一行之间不会有攻击。
  • 其次，每一列只能放一个车，只要能记录下哪一列有车，下次不再考虑这一列就可以了。
  • 用一个二进制数S来表示某一列是否已经放置了车。例如n=5, S=01101，就表示第一、三、四列（从低位开始）已经放置了车。我们最终求出状态S=11111时的方案数。
  • 定义f[s]表示在状态s下的方案数。\(s\in [0\sim 2^n-1]\)
    • 假设 s=01101，显然有：f[01101]= f[01100]+f[01001]+f[00101]
    • 但如果在当前位置有障碍呢？所以我们再放置车的时候判断当前位是否有障碍。具体实现见代码。

• 代码实现：

  #include<bits/stdc++.h>
  const int maxn=(1<<20)-1;
  typedef long long LL;
  LL f[maxn],a[25];//a[x]记录第x行的障碍状态
  int lowbit(int x){return x & -x;};
  int main(){
      int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
      for(int i=1;i<=m;++i){
          int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
          a[x]+=1<<(y-1);
      }
      f[0]=1;//一个也不放也是一种方案
      int maxs=1<<n;//最大的状态
      for(int S=1;S<maxs;++S){//从状态1开始枚举
          int cnt=0;//计算状态S里的1的个数,几个1说明处理到第几行
          for(int i=S;i;i-=lowbit(i))cnt++;
          for(int i=S;i;i-=lowbit(i)){//依次判断当前状态每一个1
              if(!(a[cnt] & lowbit(i))){//状态S当前的1所在列如果没有障碍
                  int s=S^lowbit(i);//说明lowbit(i)处可以放车，当前就在此处放车
                  f[S]+=f[s];//s<S，保证能转移
              }
          }
      }
      printf("%lld\n",f[maxs-1]);
      return 0;
  }
  

B. 互不侵犯

• 题意：在\(n\times n\) 的棋盘里面放 n个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共 个格子。
• 分析：
  • 此题和我们讲的例题玉米地很相似，少了障碍，但多了个数限制，一般情况多一个限制我们就增加一维的状态。
  • 设dp[ i ][ j ][ k ] 为第i 行摆放国王状态为 j ，棋盘上国王数目为k的方案数.
  • 阶段很明显，就是我们可以一行一行的处理，第一行比较特殊，我们可以预处理
  • 判断冲突：假设s为当前行，s' 为上一行。
    • 行冲突，即不能相邻，只需判断 (s & (s<<1))==0，不为零说明有相邻。
    • 列冲突：
      • 上下冲突：判断(s & s')==0 ，如果不为0，说明上下冲突。
      • 左上冲突：判断((s<<1) & s')==0，如果不为0，说明冲突。
      • 右上冲突：判断((s>>1) & s')==0，如果不为0，说明冲突。
    • 判断当前状态下状态的1的个数，用lowbit即可。