算法设计与分析---第三章 递归与分治

分治法的设计思想
将一个难以直接解决的大问题，划分成一些规模较小的子问题，以便各个击破，分而治之。更一般地说，将要求解的原问题划分成k个较小规模的子问题，对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再将每个子问题划分为k个规模更小的子问题，如此分解下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止，再将子问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原问题的解。
启发式规则：
1、平衡子问题：最好使子问题的规模大致相同。也就是将一个问题划分成大小相等的k个子问题（通常k＝2），这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡（Balancing）子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。
2、独立子问题：各子问题之间相互独立，这涉及到分治法的效率，如果各子问题不是独立的，则分治法需要重复地解公共的子问题。
分治法的求解过程

1. 划分：既然是分治，当然需要把规模为n的原问题划分为k个规模较小的子问题，并尽量使这k个子问题的规模大致相同。
2. 求解子问题：各子问题的解法与原问题的解法通常是相同的，可以用递归的方法求解各个子问题，有时递归处理也可以用循环来实现。
3. 合并：把各个子问题的解合并起来，合并的代价因情况不同有很大差异，分治算法的有效性很大程度上依赖于合并的实现。

不是所有的分治法都比简单的蛮力法更有效。

递归
递归有两个基本要素：
⑴ 边界条件：确定递归到何时终止；
⑵ 递归模式：大问题是如何分解为小问题的。

最大子段和问题
给定由n个整数组成的序列(a1, a2, …, an)，最大子段和问题求该序列的最大值，当序列中所有整数均为负整数时，其最大子段和为0。例如，序列(-20, 11, -4, 13, -5, -2)的最大子段和为： 20

int MaxSum(int a[ ], int left, int right)    
{        
	sum=0;        
	if (left= =right) 
	{ 
		if (a[left]>0) sum=a[left];            
		else sum=0;        
	}
	else 
	{           
		center=(left+right)/2;
		leftsum=MaxSum(a, left, center);                                                          
		rightsum=MaxSum(a, center+1, right);
		s1=0; 
		lefts=0;
		for (i=center; i>=left; i--)         
		{             
			lefts+=a[i];             
			if (lefts>s1) s1=lefts;         
		}
		s2=0; 
		rights=0;  
		for (j=center+1; j<=right; j++)         
		{              
			rights+=a[j];             
			if (rights>s2) s2=rights;         
		}
		sum=s1+s2;
		if (sum<leftsum) sum=leftsum; 
		if (sum<rightsum) sum=rightsum;      
	}
	return sum; 
}                                                

算法的时间复杂性为O(nlog2n)