第二章 分治和递归
2.1 递归
2.1.1 递归的定义
① 程序调用自身的编程技巧称为递归。
② 递归的基本思路：将一个大型问题转化为一些与原问题相似的规模较小的问题来求解。
③ 如果函数调用他本身，那么他就是递归的。
2.1.2 递归的应用场景
① 问题的定义是递归的：例如斐波拉契数列。
② 解决问题采用的数据结构是递归定义的：例如二叉树的遍历
③ 问题的求解过程是递归的：例如汉诺塔问题
2.1.3 递归式
递归式是用于描述递归函数的数学公式，斐波拉契数列便是一个典型的例子，举例如下：
其满足：
① 第一式给出了函数的初始值，称为边界条件
② 第二式用较小的自变量函数值来描述大自变量的函数值，称为递归方程
③ 递归方程和边界条件是递归的两个基本要素
2.1.4 斐波拉契数列的简单实现
① 程序实现如下：
long int fib(int n) {
// 边界条件
if (n <= 1)
{
return 1;
}
else
{
// 递归方程
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
}② 以n = 4，即fib(4)程序运行如下：
2.1.5 递归的使用条件
① 原始问题可以分解成相似的子问题
② 子问题的规模小于原始问题
③ 递归函数必须有某些类型的终止条件
2.1.6 递归的优缺点
| 递归优点 | 结构清晰，易于理解，容易用数学归纳法来证明算法正确性 |
| 递归缺点 | 执行时多次调用自身，运行效率较低，所耗费的时间空间都比非递归算法多。 某些运算步骤可能重复计算，进一步降低效率 |
2.2 分治
2.2.1 分治的设计思想
分治法的设计思想，即是将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治模式在每一层递归上的步骤。
① 分解（Divide）: 将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的子问题，这些子问题相互独立，且与原问题相同。
②求解（Conquer）:递归求解子问题，若问题足够小则直接求解。
③合并（Combine）:将各个子问题的解合并得到原问题的解。
2.2.2 二分搜索法的简单实现
// a[]为已经升序排列好的数组，x为查找的目标，left和right为当前分区的左右数组下标
int BinarySearch(int a[], int x, int left, int right) {
// right >= left 表示还有数据未检索
while (right >= left) {
// 获取升序排列数组的中间值的下标
int mid = (left + right) / 2;
// 如果目标值与数组值相等，返回数组下标
if (x == a[mid]) return mid;
// 如果目标值小于数组值，左边数组下标不变，右边数组下标选取mid - 1
if (x < a[mid]) right = mid - 1;
// 如果目标值大于数组值，右边数组下标不变，左边数组下标选取mid + 1
else left = mid + 1;
}
// 没有找到对应元素返回-1
return -1;
}① 数组a[ i ]为排序好的升序数组，如果传入数组为乱序，则不可使用此方法。
2.2.3 分治法的适用条件
① 问题缩小到一定程度可以容易的解决
② 问题可以分解成若干规模较小的相同问题
③ 利用子问题的解可以合并得到原始问题的解
④ 问题所分解出的各个子问题是相互独立的，子问题不包含公共子问题
2.2.4 递归复杂度判定定理
参考博客1：重谈主定理（master定理）及其证明 - Jayun - 博客园
参考博客2：【Master Theorem主定理】递归时间复杂度分析_白马金羁侠少年的博客-CSDN博客
其可简化为：
其中，n为问题规模，a为递推的子问题数量，n/b为每个子问题规模，O( n^d )为递推以外进行的计算工作量。
对于其时间复杂度T(n)的有：
举例如下：
此时 a = 3, b = 2, d = 1, 即有 a = 3 > b^d = 2, 时间复杂度T(n) = O(n^log3) = O(n^1.59)
此时a = 8, b = 2, d = 2，即有 a = 8 > b^d = 4, 时间复杂度T(n) = O(n^log8) = O(n^3)
需要注意的是在时间复杂度计算中，一般以2为底的对数简写为log。