4 最长上升子序列
4.1 题目描述
给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。
示例:
输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。
说明:
可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。
4.2 分析
动态规划的核心设计思想是数学归纳法。
相信大家对数学归纳法都不陌生，高中就学过，而且思路很简单。比如我们想证明一个数学结论，那么我们先假设这个结论在 k<n 时成立，然后想办法证明 k=n 的时候此结论也成立。如果能够证明出来，那么就说明这个结论对于 k 等于任何数都成立。
直接拿最长递增子序列这个问题举例你就明白了。不过，首先要定义清楚 dp 数组的含义，即 dp[i] 的值到底代表着什么？
我们的定义是这样的：dp[i] 表示以 nums[i] 这个数结尾的最长递增子序列的长度。
例如：
Ok，现在知道了dp[0] – dp[4]，怎样计算dp[5]？
现在想求 dp[5] 的值，也就是想求以 nums[5] 为结尾的最长递增子序列。
nums[5] = 3，既然是递增子序列，我们只要找到前面那些结尾比 3 小的子序列，然后把 3 接到最后，就可以形成一个新的递增子序列，而且这个新的子序列长度加一。
当然，可能形成很多种新的子序列，但是我们只要最长的，把最长子序列的长度作为 dp[5] 的值即可。
4.3 代码
int max(int a, int b) {
return a > b ? a : b;
}
//dp[i]表示以nums[i]为结尾，最长的上升子序列长度
int lengthOfLIS(int* nums, int numsSize){
if(numsSize <= 0) {
return 0;
}
if(numsSize == 1) {
return 1;
}
int i = 0, j = 0;
int result = INT_MIN;
int dp[numsSize];
for(i = 0; i < numsSize; i++) {
dp[i] = 1; //初始化为1，每个对于数字，至少是1
}
result = dp[0];
for(i = 1; i < numsSize; i++) {
for(j = 0; j < i; j++) { //对于每一个以nums[i]结尾的数组，都要看它前面所有的比它小的
if(nums[i] > nums[j]) {
dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]); //这里和自身取大值的的意思是要比较前面所有的比它自身小的
}
}
result = result > dp[i] ? result : dp[i];
}
return result;
}
https://labuladong.gitbook.io/algo/dong-tai-gui-hua-xi-lie/dong-tai-gui-hua-she-ji-zui-chang-di-zeng-zi-xu-lie
