(二).背包动态规划：

~~觉得背包动态规划比线形动态规划简单多了。。~~

1. 种类

背包动态规划的种类有很多，如：01背包，完全背包，多重背包，混合背包，二维背包，分组背包。。。

2.作法

在这里就不全讲了（~~懒癌发作qwq~~），只讲一下我自己的见解吧。

先放01背包题目：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10000
int n,m,i,j;
int w[N],c[N],f[N];
int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(i=1;i<=n;++i)
	scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
	for(i=1;i<=n;++i)
	for(j=m;j>=w[i];--j)
	f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
	printf("%d",f[m]);
}

没错，很短！

我们设n表示有n件物品，用i枚举每件物品；设m表示有m个空间容量，用j来枚举有j个容量时最多能装下的价值。

那么好了，方程就是：

for(i=1;i<=n;++i)
  for(j=m;j>=w[i];--j)
  f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);

emmm。。我相信大家都看懂了。max（）里第一个和线形动态规划差不多，表示不选，则空间容量并不减少。第二个表示当空间剩下j时用w[i]的体积的物体，获得价值为c[i]，那么我们就调用空间为f[j-w[i]]的数；（若f[j-w[i]]已经有决策了，那么f[j]得到的值一定更加逼近最优解）；

emmm。。。再放一个完全背包的作法吧

题面：

完全背包模板---lougu

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100001
int f[maxn],i,j,k,w[maxn],n,m,v,c[maxn];
int main()
{
	cin>>v>>n;
	for(i=1;i<=n;++i)
	scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
	for(i=1;i<=n;++i)
	for(j=w[i];j<=v;++j)
	f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
	printf("%d",f[v]);
}

好吧好吧，完全背包其实和01背包差不多，但要记住一点：完全背包第二层枚举的循环是从w[i]开始的！不是从总空间量来开始枚举的！因为从w[i]枚举有可能一个物品选多次，而从总空间量开始枚举是无法办到的（因为j是不断递减的，那么j-w[i]是永远不可能相等的（在同一个物品的情况下），如果递增的话，j-w[i] 有可能重叠，这样会计算到同种物品用多次这一情况）；

多重背包。。。

其实就是01背包的变形。方法1：在枚举物品序号的循环下面加一重循环循环次数为物品的数量。方法2：二进制分解，将物品个数打包，第一个包重量 1个*w，价值c，第二个 2个*w，价值2*c，第三个 4个*w，价值4*c，第四个 8个*w，价值8*c。。（当然在限度内）。如有剩下把剩下的物品单独打一个包。（为什么呢？有没有发现，1，2，4，8。。。（还有剩余的物品的个数）这些数能组成总的个数范围以内所有的正整数）

混合背包。。。

将两种背包结合起来（多重背包和完全背包）。若当前物品供应量是无限的，用完全背包方程，不然用01背包方程的改进版（01背包上套一个循环次数为当前物品的数量）

二维背包。。。

在枚举时用3重循环，第二层表示最大容量1号，第三层表示最大容量2号，然后用法就和 01背包或者完全背包差不多了。

好了好了，点到为止，我们的目标是理解动态规划是如何运行的，当我们理解后，其他不会的算法也就会了。

重要的事再说一遍：我们要把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解。

下一期，区间动态规划。

动态规划（二）：背包动态规划基础

(二).背包动态规划：

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