【Lintcode】1439. Consecutive Numbers Sum

题目地址：

https://www.lintcode.com/problem/consecutive-numbers-sum/description

给一个数字 $N$，问有多少种方法可以将其写成连续的若干正整数之和。

设 $N=\frac{[a+(a+(k-1)b)]k}{2}$，解得 $a=\frac{N}{k}-\frac{k-1}{2}$其中 $a$为首项， $k$为项数。所以我们只需要从 $k=1$开始枚举 $k$即可。显然 $k$越大则解出来的 $a$越小，当解出小于 $1$的 $a$时循环就终止。代码如下：

public class Solution {
    /**
     * @param N: an integer
     * @return: how many ways can we write it as a sum of consecutive positive integers
     */
    public int consecutiveNumbersSum(int N) {
        // Write your code here
        int res = 0, count = 1;
        double a = 1, num = (double) N;
        // 如果解出的首项小于1了，那就枚举结束
        while (a >= 1) {
        	// 解出首项
            a = num / count - (count - 1) / 2.0;
            // 如果首项是个正整数则计答案 + 1
            if (isInteger(a) && a >= 1) {
                res++;
            }
            // 枚举项数 + 1
            count++;
        }
        
        return res;
    }
    
    private boolean isInteger(double a) {
        return Math.abs(a - (int) a) <= 1E-10;
    }
}

时间复杂度 $O(\sqrt{N})$，只需注意到不等式 $\frac{N}{k}-\frac{k-1}{2}\ge 1$，推出 $k^2+k\le 2N$，然后即得结论。