最优化技术——线性规划

线性规划基本概念

线性规划问题就是在一组线性约束条件下，求解目标函数最优解的问题

线性规划问题的标准形式：

所有的情况与改造方法

目标函数求最小值则应该改为求最大值：
- 方法——添加负号：
  
  $min F = \Sigma c_jx_j \rightarrow maxF = -\Sigma c_jx_j$
约束条件中，某些常数项bi为负数
- 方法——在约束条件两边乘以负号
  
  $\Sigma a_{i,j}x_j>-3 \rightarrow -\Sigma a_{i,j}x_j<3$
约束条件不等式符号为<=
- 方法——在不等式左边加上一个非负变量（松驰变量）
  
  $\Sigma a_{i,j}x_j \leq b_i \rightarrow \Sigma_{j=1}^m a_{ij}x_j+x_{m+1}=b_i$
约束条件**不等式符号为>= **
- 在不等式左边减去一个非负变量（剩余变量）
  
  $\Sigma a_{i,j}x_j \geq b_i \rightarrow \Sigma_{j=1}^m a_{ij}x_j-x_{m+1}=b_i$
约束条件中某变量有如下限制：
- 一、某变量必须为负数,即： $x_j \leq0$ :
  - 方法——设置一个新的变量
    
    $x_j' = -x_j$
- 二、某个变量无符号限制：
  - 方法——将该变量拆分成两个正数的差
    
    $V_k \geq 0, U_k \geq 0,X_k = V_k - U_k$

一、

$min F = -3x_1 + 4x_2 -2x_3 + 5x_4$

$s.t.$

$4x_1 - x_2+2x_3-x_4=-2$

$x_1+x_2+2x_3-x_4 \leq14$

$-2x_1+3x_2-x_3+2x_4\geq2$

$x_1\geq0,x_2\leq0,x_3\geq0$

将上面的式子化成标准型，首先需要检查上面的式子中有哪些地方不符合我们的要求：

额，经过整理我们发现。。。都不符合，所以需要一条一条的改：

整理之后得到：

$maxS=-minF = 3x_1+4x_7+2x_3-5x_8+5x_9$

$s.t.$

$-4x_1-x_7-2x_3+x_8-x_9 = 2$

$x_1-x_7+2x_3-x_8+x_9+x_5 =14$

$-2x_1-3x_7-x_3+2x_8-2x_9 - x_6= 2$

$x_i \geq 0,j=1,3,5,6,7,8,9$

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

定义一：凡是满足 $Ax=b$ 及 $x\geq0$ 的解 $x = (x_1,x_2,..,x_n)^T$ 称为线性规划问题的可行解。同时满足 $max Z = cx$ 的可行解称为最优解
定义二：设线性规划约束方程组的系数矩阵 $A_{m*n}$ 的秩为 $m$ ，则 $A$ 中某 $m$ 列组成的任一个 $m$ 阶可逆阵 $B$ 称为该线性规划问题的一个基矩阵，简称基。若记 $B=(p_1,p_2,…,p_m)$ ，则称 $p_k(k=1,2,…m)$ 为基B中的一个基向量。则A中其余n-m个列向量为非基向量。

感觉这里很象最大线性无关组。
定义3：当 $Ax=b$ 式中A确定了一个基B后，与基向量 $p_k$ 相对应的决策变量 $x_k$ 称为关于基B的一个基变量，而与非基向量所对应的决策变量称为非基变量。
定义4：设 $B=(p_{k_1},p_{k_2},…,p_{k_m})$ 是A中的一个基，对应的基变量为 $x_{k_1},x_{k_2},…,x_{k_m}$ ,我们称非基变量的取值均为零且满足约束条件的一个解x,为关于基B的一个基本解。

\left[
\begin{matrix}
B^{-1}b\
0
\end{matrix}
\right]
$$
这样的解也被称为关于基B的基本解，同时有定义五:

求下列方程组的一个基本解、基本可行解

$x_1 + 2x_2 \leq 8$

$x_2\leq 2$

解:

首先将他化成标准形式

$x_1+2x_2 +x_3 = 8$

$x_2+x_4 = 2$
根据上方方程得到系数矩阵：

$A=\left[\begin{matrix}1 & 3 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$
取前两个列向量作为基向量，后两个就是非基向量

$B = \left[ \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 &1 \end{matrix} \right]$
令非基变量 $x_3, x_4 = 0$ ，可以得到基本解

$(4,2,0,0)^T$