过拟合问题
如果我们有非常多的特征，我们通过学习得到的假设可能能够非常好地适应训练集（代价函数可能几乎为 0），但是可能会不能推广到新的数据。
下图是一个回归问题的例子：
第一个模型是一个线性模型，低度拟合，不能很好地适应我们的训练集；第三个模型是一个四次方的模型，过度拟合，虽然能非常好地适应我们的训练集但在新输入变量进行预测时可能会效果不好；而中间的模型似乎最合适。
分类问题中也存在这样的问题：
问题是，如果我们发现了过拟合问题，应该如何处理？
1. 尽量减少选取特征的数量，丢弃一些不能帮助我们正确预测的特征。
可以是手工选择保留哪些特征
或者使用一些模型选择的算法来帮忙（例如 PCA）
2. 正则化。
保留所有的特征，但是减少参数的大小（ magnitude）。
归一化代价函数
上面的回归问题中如果我们的模型是：
我们决定要减少θ3和θ4的大小，我们要做的便是修改代价函数，在其中θ3和θ4设置一点惩罚。如下所示，比如在其前加一个很大的数1000，10000。这样做的话，我们在尝试最小化代价时也需要将这个惩罚纳入考虑中，并最终导致选择较小一些的θ3和θ4。 修改后的代价函数如下：
通过这样的代价函数选择出的θ3 和θ4对预测结果的影响就比之前要小许多。
假如我们有非常多的特征，我们并不知道其中哪些特征我们要惩罚，我们将对所有的特征进行惩罚，并且让代价函数最优化的软件来选择这些惩罚的程度。这样的结果是得到了一个较为简单的能防止过拟合问题的假设：
其中λ又称为归一化参数（ Regularization Parameter）。
注：根据惯例，我们不对θ0进行惩罚。
经过归一化处理的模型与原模型的可能对比如下图所示：
如果选择的归一化参数λ过大，则会把所有的参数都最小化了，导致模型变成 hθ(x)=θ0也就是上图中红色直线所示的情况，造成低度拟合。
归一化线性回归
归一化线性回归的代价函数为：
如果我们要使用梯度下降发令这个代价函数最小化，因为我们不对θ0进行惩罚即未对θ0进行归一化，所以梯度下降算法将分两种情形：
对上面的算法中 j=1,2,...,n 时的更新式子进行调整可得：
可以看出，归一化线性回归的梯度下降算法的变化在于，每次都在原有算法更新规则的基础上令θ值减少了一个额外的值。
我们同样也可以利用正规方程来求解归一化线性回归模型，方法如下所示：
图中的矩阵尺寸为 n+1*n+1。
不加证明的给出当λ大于零时，
是可逆矩阵。
归一化逻辑回归
同样对于逻辑回归，我们也给代价函数增加一个归一化的表达式，得到：
要最小化该代价函数，通过求导，得出梯度下降算法为：
注：看上去同线性回归一样，但是知道 hθ(x)=g(θTX)，所以与线性回归不同。
