数组

数组定义：

数组（Array）是一种线性表数据结构。它用一组连续的内存空间，来存储一组具有相同类型的数据。

这个定义里有几个关键词。

第一是线性表（Linear List）。顾名思义，线性表就是数据排成像一条线一样的结构。每个线性表上的数据最多只有前和后两个方向。除了数组，链表、队列、栈等也是线性表结构。

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而与它相对立的概念是非线性表，比如二叉树、堆、图等。之所以叫非线性，是因为，在非线性表中，数据之间并不是简单的前后关系。

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第二个是连续的内存空间和相同类型的数据。正是因为这两个限制，它才有了一个堪称“杀手锏”的特性：“随机访问”。但有利就有弊，这两个限制也让数组的很多操作变得非常低效，比如要想在数组中删除、插入一个数据，为了保证连续性，就需要做大量的数据搬移工作。

在进行数组的插入、删除操作时，为了保持内存数据的连续性，需要做大量的数据搬移，所以时间复杂度是 O(n)。

链表

链表并不需要一块连续的内存空间，它通过“指针”将一组零散的内存块串联起来使用。

三种最常见的链表结构，它们分别是：单链表、双向链表和循环链表。

（1）单链表

首先来看最简单、最常用的单链表。

每个链表的结点除了存储数据之外，还需要记录链上的下一个结点的地址。如图所示，把这个记录下个结点地址的指针叫作后继指针 next。

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把第一个结点叫作头结点，把最后一个结点叫作尾结点。其中，头结点用来记录链表的基地址。有了它，就可以遍历得到整条链表。而尾结点特殊的地方是：指针不是指向下一个结点，而是指向一个空地址 NULL，表示这是链表上最后一个结点。

针对链表的插入和删除操作，只需要考虑相邻结点的指针改变，所以对应的时间复杂度是 O(1)。链表随机访问的性能没有数组好，需要 O(n) 的时间复杂度。

（2）循环链表

循环链表是一种特殊的单链表。实际上，循环链表也很简单。它跟单链表唯一的区别就在尾结点。

单链表的尾结点指针指向空地址，表示这就是最后的结点了。而循环链表的尾结点指针是指向链表的头结点。

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和单链表相比，循环链表的优点是从链尾到链头比较方便。当要处理的数据具有环型结构特点时，就特别适合采用循环链表。

（3）双向链表

单向链表只有一个方向，结点只有一个后继指针 next 指向后面的结点。而双向链表，顾名思义，它支持两个方向，每个结点不止有一个后继指针 next 指向后面的结点，还有一个前驱指针 prev 指向前面的结点。

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双向链表需要额外的两个空间来存储后继结点和前驱结点的地址。所以，如果存储同样多的数据，双向链表要比单链表占用更多的内存空间。虽然两个指针比较浪费存储空间，但可以支持双向遍历，这样也带来了双向链表操作的灵活性。

相比单链表，双向链表适合解决哪种问题呢？

从结构上来看，双向链表可以支持 O(1) 时间复杂度的情况下找到前驱结点，正是这样的特点，也使双向链表在某些情况下的插入、删除等操作都要比单链表简单、高效。

而单链表的插入、删除操作的时间复杂度已经是 O(1) 了，双向链表还能再怎么高效呢？

先来看删除操作。

在实际的软件开发中，从链表中删除一个数据无外乎这两种情况：

删除结点中“值等于某个给定值”的结点；
删除给定指针指向的结点。

对于第一种情况，不管是单链表还是双向链表，为了查找到值等于给定值的结点，都需要从头结点开始一个一个依次遍历对比，直到找到值等于给定值的结点，然后再通过指针操作将其删除。

尽管单纯的删除操作时间复杂度是 O(1)，但遍历查找的时间是主要的耗时点，对应的时间复杂度为 O(n)。根据时间复杂度分析中的加法法则，删除值等于给定值的结点对应的链表操作的总时间复杂度为 O(n)。

对于第二种情况，已经找到了要删除的结点，但是删除某个结点 q 需要知道其前驱结点，而单链表并不支持直接获取前驱结点，所以，为了找到前驱结点，我们还是要从头结点开始遍历链表，直到 p->next=q，说明 p 是 q 的前驱结点。

但是对于双向链表来说，这种情况就比较有优势了。因为双向链表中的结点已经保存了前驱结点的指针，不需要像单链表那样遍历。所以，针对第二种情况，单链表删除操作需要 O(n) 的时间复杂度，而双向链表只需要在 O(1) 的时间复杂度内就搞定了！

同理，如果希望在链表的某个指定结点前面插入一个结点，双向链表比单链表有很大的优势。双向链表可以在 O(1) 时间复杂度搞定，而单向链表需要 O(n) 的时间复杂度。

除了插入、删除操作有优势之外，对于一个有序链表，双向链表的按值查询的效率也要比单链表高一些。因为，我们可以记录上次查找的位置 p，每次查询时，根据要查找的值与 p 的大小关系，决定是往前还是往后查找，所以平均只需要查找一半的数据。

（4）双向循环链表

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（5）链表 VS 数组性能大比拼

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不过，数组和链表的对比，并不能局限于时间复杂度。而且，在实际的软件开发中，不能仅仅利用复杂度分析就决定使用哪个数据结构来存储数据。

数组简单易用，在实现上使用的是连续的内存空间，可以借助 CPU 的缓存机制，预读数组中的数据，所以访问效率更高。而链表在内存中并不是连续存储，所以对 CPU 缓存不友好，没办法有效预读。

数组的缺点是大小固定，一经声明就要占用整块连续内存空间。如果声明的数组过大，系统可能没有足够的连续内存空间分配给它，导致“内存不足（out of memory）”。如果声明的数组过小，则可能出现不够用的情况。这时只能再申请一个更大的内存空间，把原数组拷贝进去，非常费时。链表本身没有大小的限制，天然地支持动态扩容。

和数组相比，链表更适合插入、删除操作频繁的场景，查询的时间复杂度较高。不过，在具体软件开发中，要对数组和链表的各种性能进行对比，综合来选择使用两者中的哪一个。

栈

（1）相关概念

从栈的操作特性上来看，栈是一种“操作受限”的线性表，只允许在一端插入和删除数据。

当某个数据集合只涉及在一端插入和删除数据，并且满足后进先出、先进后出的特性，应该首选“栈”这种数据结构。

栈既可以用数组来实现，也可以用链表来实现。用数组实现的栈，我们叫作顺序栈，用链表实现的栈，我们叫作链式栈。

不管是顺序栈还是链式栈，我们存储数据只需要一个大小为 n 的数组就够了。在入栈和出栈过程中，只需要一两个临时变量存储空间，所以空间复杂度是 O(1)。

不管是顺序栈还是链式栈，入栈、出栈只涉及栈顶个别数据的操作，所以时间复杂度都是 O(1)。

（2）栈的应用

栈在函数调用中的应用

操作系统给每个线程分配了一块独立的内存空间，这块内存被组织成“栈”这种结构, 用来存储函数调用时的临时变量。每进入一个函数，就会将临时变量作为一个栈帧入栈，当被调用函数执行完成，返回之后，将这个函数对应的栈帧出栈。
栈在表达式求值中的应用
栈在括号匹配中的应用

队列

先进者先出，这就是典型的“队列”。

栈只支持两个基本操作：入栈 push()和出栈 pop()。队列跟栈非常相似，支持的操作也很有限，最基本的操作也是两个：入队 enqueue()，放一个数据到队列尾部；出队 dequeue()，从队列头部取一个元素。

队列跟栈一样，也是一种操作受限的线性表数据结构。

（1）顺序队列和链式队列

跟栈一样，队列可以用数组来实现，也可以用链表来实现。用数组实现的栈叫作顺序栈，用链表实现的栈叫作链式栈。同样，用数组实现的队列叫作顺序队列，用链表实现的队列叫作链式队列。

顺序队列：

队列需要两个指针：一个是 head 指针，指向队头；一个是 tail 指针，指向队尾。

结合下面这幅图来理解。当 a、b、c、d 依次入队之后，队列中的 head 指针指向下标为 0 的位置，tail 指针指向下标为 4 的位置。

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当我们调用两次出队操作之后，队列中 head 指针指向下标为 2 的位置，tail 指针仍然指向下标为 4 的位置。

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随着不停地进行入队、出队操作，head 和 tail 都会持续往后移动。当 tail 移动到最右边，即使数组中还有空闲空间，也无法继续往队列中添加数据了。

链式队列：

同样需要两个指针：head 指针和 tail 指针。它们分别指向链表的第一个结点和最后一个结点。如图所示，入队时，tail->next= new_node, tail = tail->next；出队时，head = head->next。

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（2）循环队列

刚才用数组来实现队列的时候，在 tail==n 时，会有数据搬移操作，这样入队操作性能就会受到影响。那有没有办法能够避免数据搬移呢？我们来看看循环队列的解决思路。

循环队列，顾名思义，它长得像一个环。原本数组是有头有尾的，是一条直线。现在我们把首尾相连，扳成了一个环。

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图中这个队列的大小为 8，当前 head=4，tail=7。当有一个新的元素 a 入队时，我们放入下标为 7 的位置。但这个时候，我们并不把 tail 更新为 8，而是将其在环中后移一位，到下标为 0 的位置。当再有一个元素 b 入队时，我们将 b 放入下标为 0 的位置，然后 tail 加 1 更新为 1。所以，在 a，b 依次入队之后，循环队列中的元素就变成了下面的样子：

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