数据结构与算法之美05

最好最坏及平均时间复杂度

// n  表示数组  array  的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) 
        pos = i;
  }
  return pos;
}

这段代码的功能是：长度为n的数组中，返回等于x的数组元素的下标，不等于则返回-1

缺点：全部元素遍历，不够高效

时间复杂度：O(n)

// n  表示数组  array  的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

优化后时间复杂度则由x出现的位置决定。最好第一个元素，最差最后一个元素。

最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率其实并不大。为了更好地表示平均情况下的复杂度，需要引入另一个概念：平均情况时间复杂度，后面我简称为平均时间复杂度。

例：

要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0 ～ n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n+1 ，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，

即：

由大O记号表示可知，可以省略掉系数，低阶，常量，所以简化后的时间复杂度为O(n).

这个结论虽然是正确的，但是计算过程稍微有点儿问题。刚讲的这 n+1 种情况，出现的概率并不是一样的。我们知道，要查找的变量 x ，要么在数组里，要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦，为了方便理解，我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2 。另外，要查找的数据出现在 0 ～ n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n 。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0 ～ n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n).

因此，前面的推导过程中存在的最大问题就是，没有将各种情况发生的概率考虑进去。如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去，那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样：

这个值就是概率论中的加权平均值，也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。引入概率之后，前面那段代码的加权平均值为 (3n+1)/4 。用大 O 表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n) 。

由上可得：不是所有情况都要进行最好，最糟或平均时间复杂度的分析，量级相差较大时才进行区别。

均摊时间复杂度

例子：

// array  表示一个长度为  n  的数组
 //  代码中的  array.length  就等于  n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;
 
 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }
    array[count] = val;
    ++count;
 }

代码功能：

往数组中插入数据的功能。

当数组满了之后，也就是代码中的 count == array.length 时，我们用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的sum 值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。最理想的情况下，数组中有空闲空间，我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为 O(1) 。最坏的情况下，数组中没有空闲空间了，我们需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。

平均复杂度分析：

假设数组的长度是 n ，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1) 。除此之外，还有一种 “ 额外 ” 的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n) 。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1) 。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是：

这个例子不需要引入概率论的知识。这是为什么呢？我们先来对比一下这个 insert() 的例子和前面那个 find() 的例子，你就会发现这两者有很大差别。首先， find() 函数在极端情况下，复杂度才为 O(1) 。但 insert() 在大部分情况下，时间复杂度都为O(1) 。只有个别情况下，复杂度才比较高，为 O(n) 。这是 insert() 第一个区别于 find() 的地方。第二个不同的地方，对于 insert() 函数来说， O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入，出现的频率是非常有规律的，而且有一定的前后时序关系，一般都是一个 O(n) 插入之后，紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作，循环往复。所以，针对这样一种特殊场景的复杂度分析，我们并不需要像之前讲平均复杂度分析方法那样，找出所有的输入情况及相应的发生概率，然后再计算加权平均值。

因此引入了摊还分析法，通过摊还分析得到的时间复杂度叫做均摊时间复杂度。

具体怎样使用摊还分析法分析算法的均摊时间复杂度？

我们还是继续看在数组中插入数据的这个例子。每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1) 。这就是均摊分析的大致思路。均摊时间复杂度和摊还分析应用场景比较特殊，所以我们并不会经常用到。

应用场景

对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。

一、复杂度分析的 4 个概念

最好情况时间复杂度：代码在最理想情况下执行的时间复杂度。

最坏情况时间复杂度：代码在最坏情况下执行的时间复杂度。

平均时间复杂度：用代码在所有情况下执行的次数的加权平均值表示。

均摊时间复杂度：在代码执行的所有复杂度情况中绝大部分是低级别的复杂度，个别情况是高级别复杂度且发生具有时序关系时，可以将个别高级别复杂度均摊到低级别复杂度上。基本上均摊结果就等于低级别复杂度。

二、为什么要引入这 4 个概念？

同一段代码在不同情况下时间复杂度会出现量级差异，为了更全面，更准确的描述代码的时间复杂度，所以引入这 4 个概念。
代码复杂度在不同情况下出现量级差别时才需要区别这四种复杂度。大多数情况下，是不需要区别分析它们的。

三、注意

平均时间复杂度代码在不同情况下复杂度出现量级差别，则用代码所有可能情况下执行次数的加权平均值表示。
均摊时间复杂度两个条件满足时使用：

1 ）代码在绝大多数情况下是低级别复杂度，只有极少数情况是高级别复杂度；

2 ）低级别和高级别复杂度出现具有时序规律。均摊结果一般都等于低级别复杂度。

数据结构与算法之美05

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