【Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave】1 —— 矢量与正交坐标系

一、关于单位矢量

单位矢量。顾名思义，它是矢量，有大小，有方向。我们可以这样简单地理解单位矢量怎么在坐标轴上表示：
单位矢量就是在某一空间坐标系中的一点 $M$，分别在 $M$ 点做与各个经过 $M$ 的坐标面的单位法向量。

我们以直角坐标系、柱坐标系和球坐标系来看看：
【1】 直角坐标系：

对于一个点 $M(x_1, y_1, z_1)$ ，那么我们可以画出经过这个点的坐标平面： $x=x_1$， $y=y_1$， $z=z_1$，然后，单位矢量 $a_x$ 就是经过 $M$ 点做平面 $x=x_1$ 的法向量， $a_y, a_z$ 类似。

注意： $\overrightarrow{a_x}, \overrightarrow{a_y}, \overrightarrow{a_z}$的方向是沿着对应坐标轴数值增大的方向。

那么，对于直角坐标系下的任何一点 $M$ 与原点 O 构成的向量，我们都可以用单位矢量表示： $\overrightarrow{OM} = A_x\overrightarrow{a_x} + A_y\overrightarrow{a_y} + A_z\overrightarrow{a_z}$
直角坐标系里面，单位矢量就是常矢量，因为它们不会因为点的改变而导致模值或大小的改变。

【2】柱坐标系
但是在柱坐标系里面，情况就不一样了。同样地，我们也是分析一下在柱坐标系里面随便取一个点，看看它的单位矢量是怎么变化的：
但是在学习之前，我们先要确定柱坐标系由那几个量组成：

显然，从图中我们可以看出：柱坐标系由 $r, φ, z$ 三个坐标变量构成。

那么，类似地，我们也是经过 $M$ 点，做出三个曲面： $r = r_1, φ = φ_1, z = z_1$，如下：

同样地， $\overrightarrow{a_r}, \overrightarrow{a_φ}, \overrightarrow{a_z}$ 都是在 $M$ 点分别做三个曲面： $r = r_1, φ = φ_1, z = z_1$ 的单位法向量得到的。而从图中，我们也会发现：当 $M$ 点改变的时候， $\overrightarrow{a_z}$ 是常矢量，但是， $\overrightarrow{a_r}, \overrightarrow{a_φ}$ 这两个向量都会随着点的改变二导致方向上的改变。因此，它们不是常矢量！

【3】至于球坐标系的分析，完全一样。只不过球坐标系下的三个坐标变量分别是： $ρ, θ, φ$

对于球坐标系而言，三个单位矢量都是变矢量。

二、三种坐标系的相互转换

我们先简单看一下坐标值之间的关系，这个其实不需要死记硬背 ，做题的时候直接画出坐标系推导一下就行：
例如：直角坐标系转柱坐标系，我们可以发现下面几个几何规律 $x = rcosφ\\ y = rsinφ\\ r = \sqrt{x^2+y^2}\\ z = z$
那么，很容易知道： $r = \sqrt{x^2+y^2}\\ \quad\\ φ = acrcos(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}) = acrsin(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})\\ z = z$
球坐标系类似。但是要特别注意微元在坐标系变换中所发生的改变：

1. 柱坐标系的体积微元是 $dV = rdrdφdz$
2. 球坐标系下的体积微元是 ： $dV = ρ^2sinθdρdθdφ$

单位矢量变换的公式一般会给出，只要会计算就行。

Be careful
另外，特别注意：在柱坐标系下，只有当两个向量都处于同一个 $φ$ 平面上时，才能相加；在球坐标系下，只有当两个向量都处于同一个 $ρ$ 平面上时才能相加！！
典型的例子：

因为此处： $φ_A ≠ φ_B$，所以二者不能直接相加，必须要转换到直角坐标系相加之和再转回柱坐标系