【Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave】—— 静电场的基本方程（分界面的边界条件分析）

写在前面：

在遇到不同介电常数的分界面上时，不管分界面上的净电荷是自右的还是束缚的，都会令 $\overrightarrow{D}$ 或 $\overrightarrow{E}$ 在分界面上发生突变。那么 $\overrightarrow{D}$ 或 $\overrightarrow{E}$ 在分界面上是如何变化的，就需要通过边界条件来判断了。同时，边界也分成了介质与介质之间、和介质与导体之间的。首先，我们就来框框介质与介质的分界面。

一、介质与介质分界面之间

1.1 法向电位移的边界条件

介质与介质的分界面上的电位移边界方程我们可以表述为：
$\overrightarrow{D_1}\sdot \overrightarrow{n} - \overrightarrow{D_2}\sdot \overrightarrow{n}=ρ_s\tag{1}$
其中， $\overrightarrow{D_1}$ 就是介质1 内的电位移， $\overrightarrow{n}$ 就表示分界面的法向量。 $ρ_s$ 表示的是分界面上的自由电荷的面密度 （注意是自由电荷）。当然，边界方程也可以表示为：
$D_{1n} - D_{2n} = ρ_s\tag{2}$

值得说明的一点是：如果题目中没有明确说明分界面自由电荷的面密度 $ρ_s$ 时，我们就默认两种介质分界面的自由电荷面密度是0，那么此时，电位移的边界方程就可以表示为： $D_{1n} = D_{2n}\tag{3}$

上面的分析说明了一件事情：如果在分界面上有自由电荷的存在，那么 $\overrightarrow{D}$ 的法向分量是不连续的。反之，如果分界面上没有自右电荷，那么 $\overrightarrow{D}$ 的法向分量 就是连续的了

1.2 切向电场强度的边界条件

注意，我们在1.1 节讨论电位移的边界方程时，说的是法向方向上的。而现在我们要讨论的电场强度的边界条件是针对切向方向的。如下图所示：

我们有下面的关系： $E_{1t} = E_{2t}\tag{4}$
这说明：电场强度在分界面的切向方向是连续的！

1.2.1 电场的折射

大家看看上面这张图片：介质 $ε_1$ 中，电场 $\overrightarrow{E_1}$ 与法向的夹角是 $θ_1$；在介质 $ε_2$ 中，电场 $\overrightarrow{E_2}$ 与法向的夹角是 $θ_2$。当分界面没有自由电荷时，根据： $D_{1n} = D_{2n}$（即： $ε_1E_{1n} = ε_2E_{2n}$）可知： $ε_1E_1cosθ_1 = ε_2E_2cosθ_2$
又由： $E_{1t} = E_{2t}$ 可知： $E_1sinθ_1 = E_2sinθ_2$
两个式子相除，可以得到： $\frac{1}{ε_1}tanθ_1 = \frac{1}{ε_2}tanθ_2$
整理一下，可以得到： $\frac{tanθ_1}{tanθ_2} = \frac{ε_1}{ε_2}$
这就是所谓的电场折射。注意： $θ_1, θ_2$ 是电场与分界面法向方向的夹角！！ 我们可以看到，一般来说，电场经过两个不同的介质之后方向一般都会改变（除非是 $θ_1, θ_2 = 0$）

1.3 电势的边界条件

电势的边界方程有两个（别忘了！）下面我们推导一下：
还记得我们刚刚说的电位移的边界条件吗？ $D_{1n} - D_{2n} = ρ_s$，根据电位移和电场强度的本构关系： $\overrightarrow{D} = ε\overrightarrow{E}$，因此，我们也可以得到： $D_{n} = εE_{n}$

另外，根据之前的知识我们知道： $\overrightarrow{E_n} = -\triangledownΦ = -\frac{\partial{Φ}}{\partial{n}}\overrightarrow{a_n}$
所以， $E_n = \overrightarrow{E_n}\sdot \overrightarrow{a_n}$。那么，我们有： $E_n = -\frac{\partial{Φ}}{\partial{n}}\overrightarrow{a_n} \sdot \overrightarrow{a_n} = -\frac{\partial{Φ}}{\partial{n}}$
所以，有： $\begin{aligned} D_{1n} - D_{2n} &= ρ_s\\ \space\\ ε_1E_{1n} - ε_2E_{2n} &=ρ_s\\ \space\\ -ε_1\frac{\partial{Φ_1}}{\partial{n}} + ε_2\frac{\partial{Φ_2}}{\partial{n}} &= ρ_s\\ \end{aligned}$

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所以，我们得到了电位在边界面上的第一条方程： $ε_1\frac{\partial{Φ_1}}{\partial{n}} - ε_2\frac{\partial{Φ_2}}{\partial{n}} = -ρ_s\tag{5}$
如果分界面的自由电荷的面密度为0，那么可以得到： $ε_1\frac{\partial{Φ_1}}{\partial{n}} = ε_2\frac{\partial{Φ_2}}{\partial{n}}$

另外一条特别容易引起忽略的，就是： $Φ_1 = Φ_2\tag{6}$
上面的分析说明，在分界面上，电位是连续的。

还需要特别强调的一点就是：如果题目中给出的电位函数例如是 $r$ 的函数，那么我们在用边界方程的时候，需要把 $r = 边界值$带进去

二、介质与导体之间

其实，介质与导体之间的边界条件原型是和介质与介质的方程是一样的，只不过这里对于导体而言，导体内部的场强为0，导体边界是一个等势体。

2.1 电位移边界条件

我们先把原型写出来： $D_{1n} - D_{2n} = ρ_s$
因为导体内的场强是0，因此我们有： $D_{2n} = 0$，所以上式就变为了： $D_{1n} = ρ_s$

2.2 电场强度的边界条件

同样地，我们把原型写出来： $E_{1t} = E_{2t}$
因为导体内部的场强为0，所以， $E_{2t} = 0$。即： $E_{1t} = E_{2t} = 0$