一：KMP算法是一个模式匹配算法，他最原始的方法就是从主串进行一个个的进行匹配，然后返回主串中模式串的第一个字母在主串中的位置，依次进行返回就能查出有多少子串。然后对于有些模式串返回时会有一些无必要的比较，所以要用算法进行优化处理，使其算法的时间复杂度由O(n*m)简化为O（n+M）；
对于O(n*m)这个算法只能承受10的5次方以下的题。
1：next数组。
假设有一个字符串s（下标从0开始），那么他的第i号位作为结尾的子串就是s【0……i】。对该子串来说，长度为k+1的前缀与后缀分别是s【0,……k】和s【i-k……i】。现在定义一个int型数组next，其中next表示 使子串s【0……i】的前缀s【0……k】等于后缀s【i-k……i】的最大k（注意前缀和后缀可以部分重叠，但不能是s【0……i】本身）；如果找不到相等的前缀和后缀，那么令next【i】=-1.显然，next【i】就是所求最长相等的前后缀中前缀最后一位的下标。
举一个例子：对于模式串ababaab，next数组计算过程是：
i=0时，子串s[0……i]为‘a’，所以找不到相等的前后缀，所以next【0】=-1；
i=1时，子串s【0……i】为‘ab’，next【1】=-1；
i=2时，子串s【0……i】为‘aba’，所以当k=0时，s【0，k】=‘a’，s【i-k，i】=‘a’；k=1时，s【0，k】=‘ab’，s【i-k，i】=‘ba’；所以next【2】=0；
i=3时，子串s【0……i】为‘abab’，所以k=1时，s【0，k】=‘ab’，s【k，i】=‘ab’，所以next【3】=1；
i=4时，子串s【0……i】为“ababa”，所以k=0时，s【0,0】=‘a’，s【4,4】=‘a’；k=1时，s【0,1】=‘ab’，s【3,4】=‘ba’，不成立；k=2时，s【0,2】=‘aba’
s【2，4】=‘aba’；k=3时，s【0,3】=‘abab’，s【1,4】=‘baba’，不成立。所以next【4】=2；
i=5时，子串s【0……i】为‘ababaa’，所以当k=3时，s【0,3】=‘abab’，s【2,5】=‘abaa’，不成立等等，所以next【5】=0；
i=6时，子串s【0……i】为‘ababaab’，所以当k=1时，s【0,1】=‘ab’，s【5,6】=‘ab’，所以next【6】=1；
注意：next数组中的k的值是最后一位的前缀的最后一个位置，要注意前缀加后缀可能不相等。
对于这个例子，我们求解next数组时用暴力进行计算时是非常耗时的，下面就是用递推的方法进行计算。
作为举例，假设我们求出next【0】=-1，next【1】=-1，next【2】=0，next【3】=1，现在求解 next【4】。当我们已经的到next【3】=1，最长后缀为
‘ab’，由于s【4】=‘a’=s【next【3】+1】所以next【4】=next【3】+1，最长后缀为‘aba’；并让j指向next【4】；
接着在此基础上求解next【5】，当知道next【4】=2时，由于s【5】！=s【next【4】+1】，所以不能扩展最长相等的前后缀。次失败，要用别的方法
进行处理了。此时若找到一个j使得s【5】=s【j+1】。然后怎样找到这个j呢，你就需要不断的用j=next【j】进行返回只要找到就使next【5】=j+1;
具体的实现代码：
void next(char s[],int len){
int j=-1;
next[0]=-1;
for(int i=1;i<len;i++){
while(j!=-1&&s[i]!=s[j+1]){
j=next[j];//如果不相等的话，就不断返回j=next【j】
}
if(s[i]==s[j+1]){//如果相等的话 ，就是next【i】=j+1；
j++;
}
next[i]=j;//令next【i】等于j
}
}
这段代码每次只求一个next值，然后就是对于这个理解最难。对于每次求解next【i】时，总是用j指向next【i】，以方便求解next【i+1】之用。
还有一个从1开始的代码;
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int next[25];
/*
//这个next函数是用来求从1开始的next值
void get(char t[]){
int i=1;
next[1]=0;
int j=0;
while(i<strlen(t)){
if(j==0||t[i]==t[j]){
i++;
j++;next[i]=j;
//printf("i=%d,j=%d,ne[%d]=%d\n",i,j,i,next[i]);
}
else{
j=next[j];
//printf("nex=%d\n",j);
}
}
for(int i=1;i<strlen(t);i++){
printf("%d",next[i]);
}
}*/
//这个next函数时更简便的求一个函数的值
void nextnal(char t[]){
int i=1;
next[1]=0;
int j=0;
while(i<strlen(t)){
if(t[i]==t[j]||j==0){
i++,j++;
if(t[i]!=t[j]){
next[i]=j;
}
else{
next[i]=next[j];
}
}
else{
j=next[j];
}
}
for(int i = 1;i<strlen(t);i++){
printf("%d",next[i]);
}
}
int main(){
char t[20];
scanf("%s",t+1);
// get(t);
nextnal(t);
return 0;
}
然后就是KMP算法：
//计算a中是否存在b
bool kmp(char a[],char b[]){
int j=-1;
int n=strlen(a),m=strlen(b);
next(b,m);
for(int i=0;i<n;i++){
while(j!=-1&&a[i]!=b[j+1]){
j=next[j];
}
if(a[i]==b[j+1]){
j++;
}
if(j==m-1){
return true;
}
}
return false;
}
对于这个KMP算法就发现求解next数组就是求解KMP算法的实现。
求解next数组的过程其实就是模式串pattern进行自我匹配的过程。
//计算a中存在b的数量
bool kmp(char a[],char b[]){
int j=-1,ans=0;
int n=strlen(a),m=strlen(b);
next(b,m);
for(int i=0;i<n;i++){
while(j!=-1&&a[i]!=b[j+1]){
j=next[j];
}
if(a[i]==b[j+1]){
j++;
}
if(j==m-1){
ans++;
j=next[j];
}
}
return ans;
}对于求解next数组时，有些特殊例子：如aaaab，用next数组求就是01234，但我们发现这有些不必要的操作。所以还有更优的方法。
对于这个函数代码只有最后一步与前面不同。
void next(char s[],int len){
int j=-1;
next[0]=-1;
for(int i=1;i<len;i++){
while(j!=-1&&s[i]!=s[j+1]){
j=next[j];//如果不相等的话，就不断返回j=next【j】
}
if(s[i]==s[j+1]){//如果相等的话 ，就是next【i】=j+1；
j++;
}
if(j==-1||s[i+1]!=s[j+1]){
next[i]=j;
}
else{
next[i]=next[j];
}
}
}
从代码中可以看出，只是对next【i】=j做了补充而已。
二：从有限状态自动机的角度看待KMP算法
事实上，有限状态自动机可以看做一个有向图，其中顶点表示不同的状态，边表示状态之间的转移。