KMP及拓展KMP算法
KMP算法是一种线性时间复杂度的字符串匹配算法，它是对BF（Brute-Force,最基本的字符串匹配算法）的改进。对于给定的原始串S和模式串T，需要从字符串S中找到字符串T出现的位置的索引。KMP算法由D.E.Knuth与V.R.Pratt和J.H.Morris同时发现，因此人们称它为Knuth--Morris--Pratt算法，简称KMP算法。在讲解KMP算法之前，有必要对它的前身--BF算法有所了解，因此首先将介绍最朴素的BF算法。
一：BF算法简介
如上图所示，原始串S=abcabcabdabba,模式串为abcabd。（下标从0开始）从s[0]开始依次比较S[i] 和T[i]是否相等，直到T[5]时发现不相等,这时候说明发生了失配，在BF算法中，发生失配时，T必须回溯到最开始，S下标+1，然后继续匹配，如下图所示：
这次立即发生了失配，所以继续回溯，直到S开始下表增加到3，匹配成功。
容易得到，BF算法的时间复杂度是O(n*m)的，其中n为原始串的长度，m为模式串的长度。BF的代码实现也非常简单直观，这里不给出，因为下一个介绍的KMP算法是BF算法的改进，其时间复杂度为线性O(n+m)。
二：KMP算法简介
前面提到了朴素匹配算法，它的优点就是简单明了，缺点当然就是时间消耗很大，既然知道了BF算法的不足，那么就要对症下药，设计一种时间消耗小的字符串匹配算法。
KMP算法就是其中一个经典的例子，它的主要思想就是：
在匹配匹配过程中发生失配时，并不简单的从原始串下一个字符开始重新匹配，而是根据一些匹配过程中得到的信息跳过不必要的匹配，从而达到一个较高的匹配效率。
还是前面的例子，原始串S=abcabcabdabba,模式串为abcabd。当第一次匹配到T[5]!=S[5]时，KMP算法并不将T的下表回溯到0，而是回溯到2，S下标继续从S[5]开始匹配，直到匹配完成。
那么为什么KMP算法会知道将T的下标回溯到2呢？前面提到，KMP算法在匹配过程中将维护一些信息来帮助跳过不必要的检测，这个信息就是KMP算法的重点 --next数组。（也叫fail数组，前缀数组）。
1：next数组
（1）next数组的定义：
设模式串T[0,m-1]，（长度为m）,那么next[i]表示既是是串T[0,i-1]的后缀又是串T[0,i-1]的前缀的串最长长度(不妨叫做前后缀)，注意这里的前缀和后缀不包括串T[0,i-1]本身。
如上面的例子，T=abcabd,那么next[5]表示既是abcab的前缀又是abcab的后缀的串的最长长度，显然应该是2，即串ab。注意到前面的例子中，当发生失配时T回溯到下表2，和next[5]数组是一致的，这当然不是个巧合，事实上，KMP算法就是通过next数组来计算发生失配时模式串应该回溯到的位置。
（2）next数组的计算：
这里介绍一下next数组的计算方法。
设模式串T[0,m-1],长度为m，由next数组的定义，可知next[0]=next[1]=0，（因为这里的串的后缀，前缀不包括该串本身）。
接下来，假设我们从左到右依次计算next数组，在某一时刻，已经得到了next[0]~next[i],现在要计算next[i+1]，设j=next[i]，由于知道了next[i]，所以我们知道T[0,j-1]=T[i-j,i-1],现在比较T[j]和T[i]，如果相等，由next数组的定义，可以直接得出next[i+1]=j+1。
如果不相等，那么我们知道next[i+1]<j+1，所以要将j减小到一个合适的位置po，使得po满足:
1）T[0,po-1]=T[i-po,i-1]。
2）T[po]=T[i]。
3）po是满足条件(1),(2)的最大值。
4）0<=po<j（显然成立）。
如何求得这个po值呢？事实上，并不能直接求出po值，只能一步一步接近这个po，寻找当前位置j的下一个可能位置。如果只要满足条件(1)，那么j就是一个，那么下一个满足条件(1)的位置是什么呢？，由next数组的定义，容易得到是next[j]=k，这时候只要判断一下T[k]是否等于T[i]，即可判断是否满足条件(2),如果还不相等，继续减小到next[k]再判断，直到找到一个位置P,使得P同时满足条件(1)和条件(2)。我们可以得到P一定是满足条件(1),(2)的最大值，因为如果存在一个位置x使得满足条件(1),(2),(4)并且x>po,那么在回溯到P之前就能找到位置x，否则和next数组的定义不符。在得到位置po之后，容易得到next[i+1]=po+1。那么next[i+1]就计算完毕，由数学归纳法，可知我们可以求的所有的next[i]。(0<=i<m)
注意：在回溯过程中可能有一种情况,就是找不到合适的po满足上述4个条件，这说明T[0,i]的最长前后缀串长度为0，直接将next[i+1]赋值为0,即可。
void getnext(char *b) //b为子串
{
int i=0,j=-1;
int len=strlen(b);
nex[0]=-1;
while(i<len)
{
if(j==-1||b[i]==b[j])
{
nex[++i]=++j;
}
else
j=nex[j];
}
}以上是计算next数组的代码实现。是不是非常简短呢。
2.KMP匹配过程
有了next数组，我们就可以通过next数组跳过不必要的检测，加快字符串匹配的速度了。那么为什么通过next数组可以保证匹配不会漏掉可匹配的位置呢？
首先，假设发生失配时T的下标在i，那么表示T[0,i-1]与原始串S[l,r]匹配,设next[i]=j，根据KMP算法，可以知道要将T回溯到下标j再继续进行匹配，根据next[i]的定义，可以得到T[0,j-1]和S[r-j+1,r]匹配，同时可知对于任何j<y<i，T[0,y]不和S[r-y,r]匹配，这样就可以保证匹配过程中不会漏掉可匹配的位置。
同next数组的计算，在一般情况下，可能回溯到next[i]后再次发生失配，这时只要继续回溯到next[j]，如果不行再继续回溯，最后回溯到next[0]，如果还不匹配，这时说明原始串的当前位置和T的开始位置不同，只要将原始串的当前位置+1，继续匹配即可。
下面给出KMP算法匹配过程的代码:
int kmp(char *a,char *b) //return值为子串开始的位置
{
int i=0,j=0;
getnext(b);
int lena=strlen(a); //a为主串
int lenb=strlen(b); //b为子串
while(i<lena)
{
if(j==-1||a[i]==b[j])
i++,j++;
else
j=nex[j];
if(j==lenb)
return i-j+1;
}
return -1; //匹配不成功
}3.时间复杂度分析
前面说到，KMP算法的时间复杂度是线性的，但这从代码中并不容易得到，很多读者可能会想，如果每次匹配都要回溯很多次，是不是会使算法的时间复杂度退化到非线性呢？
其实不然，我们对代码中的几个变量进行讨论，首先是kmp函数，显然决定kmp函数时间复杂度的变量只有两个，i和j，其中i只增加了len次，是O(len)的，下面讨论j,因为由next数组的定义我们知道next[j]<j,所以在回溯的时候j至少减去了1，并且j保证是个非负数。另外，由代码可知j最多增加了len次，且每次只增加了1。简单来说，j每次增加只能增加1，每次减小至少减去1，并且保证j是个非负数，那么可知j减小的次数一定不能超过增加的次数。所以，回溯的次数不会超过len。综上所述，kmp函数的时间复杂度为O(len)。同理，对于计算next数组同样用类似的方法证明它的时间复杂度为O(len),这里不再赘述。对于长度为n的原始串S，和长度为m的模式串T，KMP算法的时间复杂度为O(n+m)。
三：拓展KMP算法简介
拓展kmp是对KMP算法的扩展，它解决如下问题：
定义母串S，和子串T，设S的长度为n，T的长度为m，求T与S的每一个后缀的最长公共前缀，也就是说，设extend数组,extend[i]表示T与S[i,n-1]的最长公共前缀，要求出所有extend[i](0<=i<n)。
注意到，如果有一个位置extend[i]=m,则表示T在S中出现，而且是在位置i出现，这就是标准的KMP问题，所以说拓展kmp是对KMP算法的扩展，所以一般将它称为扩展KMP算法。
下面举一个例子，S=”aaaabaa”,T=”aaaaa”,首先，计算extend[0]时，需要进行5次匹配，直到发生失配。
从而得知extend[0]=4，下面计算extend[1],在计算extend[1]时，是否还需要像计算extend[0]时从头开始匹配呢？答案是否定的，因为通过计算extend[0]=4，从而可以得出S[0,3]=T[0,3]，进一步可以得到 S[1,3]=T[1,3],计算extend[1]时，事实上是从S[1]开始匹配，设辅助数组next[i]表示T[i,m-1]和T的最长公共前缀长度。在这个例子中，next[1]=4,即T[0,3]=T[1,4],进一步得到T[1,3]=T[0,2],所以S[1,3]=T[0,2],所以在计算extend[1]时，通过extend[0]的计算，已经知道S[1,3]=T[0,2],所以前面3个字符已经不需要匹配，直接匹配S[4]和T[3]即可，这时一次就发生失配，所以extend[1]=3。这个例子很有代表性，有兴趣的读者可以继续计算完剩下的extend数组。
1. 拓展kmp算法一般步骤
通过上面的例子，事实上已经体现了拓展kmp算法的思想，下面来描述拓展kmp算法的一般步骤。
首先我们从左到右依次计算extend数组，在某一时刻，设extend[0...k]已经计算完毕，并且之前匹配过程中所达到的最远位置为P，所谓最远位置，严格来说就是i+extend[i]-1的最大值（0<=i<=k）,并且设取这个最大值的位置为po，如在上一个例子中,计算extend[1]时，P=3，po=0。
现在要计算extend[k+1],根据extend数组的定义，可以推断出S[po,P]=T[0,P-po],从而得到 S[k+1,P]=T[k-po+1,P-po],令len=next[k-po+1]，(回忆下next数组的定义),分两种情况讨论：
第一种情况：k+len<P
如下图所示：
上图中，S[k+1,k+len]=T[0,len-1]，然后S[k+len+1]一定不等于T[len]，因为如果它们相等，则有S[k+1,k+len+1]=T[k+po+1,k+po+len+1]=T[0,len],那么next[k+po+1]=len+1，这和next数组的定义不符(next[i]表示T[i,m-1]和T的最长公共前缀长度)，所以在这种情况下，不用进行任何匹配，就知道extend[k+1]=len。
第二种情况： k+len>=P（其实稍加分析可以发现k+len必定小于等于P）
如下图：
上图中，S[p+1]之后的字符都是未知的，也就是还未进行过匹配的字符串，所以在这种情况下，就要从S[P+1]和T[P-k+1]开始一一匹配，直到发生失配为止，当匹配完成后，如果得到的extend[k+1]+(k+1)大于P则要更新未知P和po。
至此，拓展kmp算法的过程已经描述完成，细心地读者可能会发现，next数组是如何计算还没有进行说明，事实上，计算next数组的过程和计算extend[i]的过程完全一样，将它看成是以T为母串，T为字串的特殊的拓展kmp算法匹配就可以了，计算过程中的next数组全是已经计算过的，所以按照上述介绍的算法计算next数组即可，这里不再赘述。
2. 时间复杂度分析
下面来分析一下算法的时间复杂度，通过上面的算法介绍可以知道，对于第一种情况，无需做任何匹配即可计算出extend[i]，对于第二种情况，都是从未被匹配的位置开始匹配，匹配过的位置不再匹配，也就是说对于母串的每一个位置，都只匹配了一次，所以算法总体时间复杂度是O(n)的，同时为了计算辅助数组next[i]需要先对字串T进行一次拓展kmp算法处理，所以拓展kmp算法的总体复杂度为O(n+m)的。其中n为母串的长度，m为子串的长度。
下面是拓展kmp算法的关键部分代码实现
void getnext(char *b)
{
int len=strlen(b);
nex[0]=len;
int pos,r; //记录匹配成功的字符串的最远位置r以及对应的起始位置pos
for(int i=1,j=-1;i<len;i++,j--)
{
if(j<0||i+nex[i-pos]>=r)
{
if(j<0)
{
r=i,j=0;
}
while(r<len&&b[r]==b[j])
{
r++,j++;
}
nex[i]=j;
pos=i;
}
else
nex[i]=nex[i-pos];
}
}
void getextend(char *a,char *b)
{
getnext(b);
int pos,r;
int lena=strlen(a);
int lenb=strlen(b);
for(int i=0,j=-1;i<lena;i++,j--)
{
if(j<0||i+nex[i-pos]>=r)
{
if(j<0)
{
r=i,j=0;
}
while(r<lena&&j<lenb&&a[r]==b[j])
{
r++,j++;
}
extend[i]=j;
pos=i;
}
else
extend[i]=extend[i-pos];
}
}