树课堂纪要
树基本概念
非线性结构，一个直接前驱，但可能有多个直接后继（1:n） |
树的定义具有递归性，即树中还有树 |
根 叶子 森林 有序树 无序树 双亲 孩子 兄弟 堂兄弟 祖先 子孙 |
结点 结点的度 结点的层次 终端结点 分支结点 |
树的度 所有结点度中的最大值（Max{各结点的度} 树的深度指所有结点中最大的层数（Max{各结点的层次} (或高度) |
关于子树不相交的说明 |
树的表示法
图形表示法 |
广义表表示法 |
左孩子－右兄弟表示法 |
双亲孩子表示法 |
树的逻辑结构
一对多（1:n），有多个直接后继（如家谱树、目录树等等），但只有一个根结点，且子树之间互不相交。 |
广义表表示法 |
左孩子－右兄弟表示法 |
树的存储
顺序存储、链式存储 |
二叉树
1、基本概念
二叉树的结构最简单，规律性最强 |
可以证明，所有树都能转为唯一对应的二叉树，不失一般性 |
定义：是n（n≥0）个结点的有限集合，由一个根结点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成 |
二叉树性质 |
性质1: 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i>0） |
性质2: 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k>0） |
性质3: 对于任何一棵二叉树，若2度的结点数有n2个，则叶子数（n0）必定为n2＋1 （即n0=n2+1） |
满二叉树：一棵深度为k 且有2k -1个结点的二叉树。 |
完全二叉树：深度为k 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k 的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应。 |
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性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度必为ëlog2nû＋1 性质5: 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外） |
二叉树的存储结构 |
一、顺序存储结构 按二叉树的结点"自上而下、从左至右"编号，用一组连续的存储单元存储。 答：一律转为完全二叉树！ 讨论：不是完全二叉树怎么办？ 方法很简单，将各层空缺处统统补上"虚结点"，其内容为空 |
二、链式存储结构 二叉树结点数据类型定义： typedef struct node *tree_pointer; typedef struct node { int data; tree_pointer left_child, right_child; } node; |
树的三叉链表表示
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2、遍历二叉树
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树的性质确认 |
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树的遍历引申 |
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3、二叉树编程实践
typedef struct node{ int data; struct node *lchild,*rchild； } NODE; NODE *root; |
DLR(NODE *root ) { if (root) //非空二叉树 { printf("%d",root->data); //访问D DLR(root->lchild); //递归遍历左子树 DLR(root->rchild); //递归遍历右子树 } } |
中序遍历算法 LDR(NODE *root) { if(root !=NULL) { LDR(root->lchild); printf("%d",root->data); LDR(root->rchild); } } |
后序遍历算法 LRD (NODE *root) {if(root !=NULL) {LRD(root->lchild); LRD(root->rchild); printf("%d",root->data); } } |
练习 例：编写递归算法，计算二叉树中叶子结点的数目 |
DLR_CountLeafNum(NODE *root)//采用中序遍历的递归算法 { if ( root) //非空二叉树条件，还可写成if(root !=NULL ) { if(!root->lchild&&!root->rchild) //是叶子结点则统计并打印 { sum++; printf("%d\n",root->data); } DLR_CountLeafNum(root->lchild); //递归遍历左子树，直到叶子处； DLR_CountLeafNum(root->rchild);}//递归遍历右子树，直到叶子处； } return(0); } |
前序遍历
思路：利用前序遍历来建树（结点值陆续从键盘输入，用DLR为宜） Bintree createBTpre( ) { Bintree T; char ch; scanf("%c",&ch); if(ch=='#') T=NULL; else { T=( Bintree )malloc(sizeof(BinTNode)); T->data=ch; T->lchild=createBTpre(); T->rchild=createBTpre(); } return T; } |
后序遍历销毁一个数 |
结论：通过中序遍历和先序遍历可以确定一个树 通过中序遍历和后续遍历可以确定一个数。 通过先序遍历和后序遍历确定不了一个数。 |
4、二叉线索树
概念 普通二叉树只能找到结点的左右孩子信息，而该结点的直接前驱和直接后继只能在遍历过程中获得。 若可将遍历后对应的有关前驱和后继预存起来，则从第一个结点开始就能很快"顺藤摸瓜"而遍历整个树了。 |
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线索化过程就是在遍历过程（假设是中序遍历）中修改空指针的过程： 将空的lchild改为结点的直接前驱； 将空的rchild改为结点的直接后继。 |
二叉树线索化算法 |
void InTreading(BiThrTree p) //中序遍历进行中序线索化 { if (p) { InThreading(p->lchild); /*左子树线索化*/ if (!p->lchild) /*前驱线索*/ { p->ltag=1; p->lchild=pre; } if (!pre->rchild) /*后继线索*/ { pre->rtag=1; pre->rchild=p; } pre=p; InThreading(p->rchild); /*右子树线索化*/ } } |
二叉树线索化遍历算法 |
程序注解 (非递归，且不用栈)： P=T->lchild; //从头结点进入到根结点； while( p!=T) { while(p->LTag==link)p=p->lchild; //先找到中序遍历起点 if(!visit(p->data)) return ERROR; //若起点值为空则出错告警 while(p->RTag==Thread ……){ p=p->rchild; Visit(p->data);} //若有后继标志，则直接提取p->rchild中线索并访问后继结点； p=p->rchild; //当前结点右域不空或已经找好了后继，则一律从结点的右子树开始重复{ }的全部过程。 } Return OK; |
5、霍夫曼树
对于文本"BADCADFEED"的传输而言，因为重复出现的只有 "ABCDEF"这6个字符，因此可以用下面的方式编码： |
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接收方可以根据每3个bit进行一次字符解码的方式还原文本信息。 这样的编码方式需要30个bit位才能表示10个字符 那么当传输一篇500个字符的情报时，需要15000个bit位 在战争年代，这种编码方式对于情报的发送和接受是很低效且容易出错的。 如何提高收发效率？ |
要提高效率，必然要从编码方式的改进入手，要避免每个字符都占用相同的bit位 |
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准则：任一字符的编码都不是另一个字符编码的前缀！ |
霍夫曼树 1.给定n个数值{ v1, v2, …, vn} 2.根据这n个数值构造二叉树集合F F = { T1, T2, …, Tn} Ti的数据域为vi，左右子树为空 3.在F中选取两棵根结点的值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树，这棵二叉树的根结点中的值为左右子树根结点中的值之和 4.在F中删除这两棵子树，并将构造的新二叉树加入F中 5.重复3和4，直到F中只剩下一个树为止。这棵树即霍夫曼树 |
假设经过统计ABCDEF在需要传输的报文中出现的概率如下
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霍夫曼树是一种特殊的二叉树 霍夫曼树应用于信息编码和数据压缩领域 霍夫曼树是现代压缩算法的基础 |
二叉树的遍历-中序遍历非递归算法
中序 遍历的几种情况 分析1：什么时候访问根、什么时候访问左子树、什么访问右子树 当左子树为空或者左子树已经访问完毕以后，再访问根 访问完毕根以后，再访问右子树。 分析2：为什么是栈，而不是其他队列。 先走到的后访问、后走到的先访问，显然是栈结构 分析3：结点所有路径情况 步骤1：结点的所有路径情况 如果结点有左子树，该结点入栈； 如果结点没有左子树，访问该结点； 分析3：路径所有情况 如果结点有右子树，重复步骤1； 如果结点没有右子树（结点访问完毕），回退，让栈顶元素出栈，访问栈顶元素，并访问右子树，重复步骤1 如果栈为空，表示遍历结束。 注意：入栈的结点表示，本身没有被访问过，同时右子树也没有被访问过。 分析4：有一个一直往左走入栈的操作 |
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