RMQ问题 Page 41 ST算法

RMQ问题 Page 41 ST算法

http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1174
第一次写博客 这是51nod上一个简单的基础题。

大致题意：给一组数组 让你判断T个 $[l,r]$区间里的最大值（或最小值）。

分析：暴力肯定会TLE。
根据倍增思想，需要引入2的整数次幂用来简化时间和空间，那么具体该怎么做呢？

先取数组 $dp[i][j]$，表示从 $i$开始的 $2^j$个数中的最大值，即区间 $[i,i+2^j-1]$。

接下来很容易理解的转移方程，从 $i$开始的 $2^j$个数中的最大值肯定是其左半段和右半段的最大值，这个左半段和右半段完美契合2的整数次幂思想，只需要把幂次-1即可！

dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+1<<(j-1)][j-1]);

预处理代码如下：

void ST()
{
	for (int i=1;i<=n;i++)dp[i][0]=a[i];//区间长度为1的区间最大值为本身
	int t=log(n)/log(2)+1;
	for (int j=1;j<t;j++)
	{
		for (int i=1;i<=n-(1<<j)+1;i++)
		{
			dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+1<<(j-1)][j-1]);
		}
	}
}

接下来就是查询问题了，如果区间长度正好是 $2^k$，那么我们可以直接取 $dp[r-2^k+1][k]$作为答案，那么如果区间不正好是2的整数次幂应该如何处理？

只需要直接覆盖即可，不过这个覆盖不是随便覆盖，范围肯定是不能超出给出的 $[l,r]$的

取一个 $k$，满足 $2^k \leq r-l+1<2^{k+1}$,那么以 $l$为开头开始的 $2^k$个数和以 $r$结尾的 $2^k$个数肯定覆盖了整个区间~

查询代码如下：

int ST_query()
{
	int k=log(r-l+1)/log(2);
	return max(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
}

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综上所述：

ST算法的时间复杂度为：

预处理： $O(nlogn)$

查询： $O(1)$

RMQ问题同样可以用线段树解决，倍增思想实在是好。

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