2020年蓝桥杯模拟赛解题报告（Java版本）

第一题 单位变换

题目

【问题描述】
在计算机存储中，15.125GB是多少MB？
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

思路

1G=1024M

答案

15488

第二题 约数个数

题目

【问题描述】
1200000有多少个约数（只计算正约数）。
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

思路

枚举+检查

public class _02 {
    public static void main(String[] args) {
        int N = 1200000;
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= N; ++i) {
            if (N % i == 0)
                ans++;
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

答案

96

第三题 叶结点数

题目

【问题描述】
一棵包含有2019个结点的二叉树，最多包含多少个叶结点？
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

思路

n=n0+n1+n2，为使叶子节点数（n0）最多，必须n1最小，设为0，而n0=n2+1

得n2=(2019-1)/2=1009

所以n0=1010

答案

1010

第四题 数字9

题目

【问题描述】
在1至2019中，有多少个数的数位中包含数字9？
注意，有的数中的数位中包含多个9，这个数只算一次。例如，1999这个数包含数字9，在计算时只是算一个数。
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

思路

伪代码

for i from 9  to 2019
	if str(i).contains('9')
		ans++

代码：

public class _04 {
    static final int N = 2019;

    static boolean check(int i) {
        String str = "" + i;
        return str.indexOf('9') != -1;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int ans = 0;
        for (int i = 9; i <= N; ++i) {
            if (check(i)) {
                ans++;
            }
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

答案

544

第五题 数位递增的数

题目

【问题描述】
一个正整数如果任何一个数位不大于右边相邻的数位，则称为一个数位递增的数，例如1135是一个数位递增的数，而1024不是一个数位递增的数。
给定正整数 n，请问在整数 1 至 n 中有多少个数位递增的数？
【输入格式】
输入的第一行包含一个整数 n。
【输出格式】
输出一行包含一个整数，表示答案。
【样例输入】
30
【样例输出】
26
【评测用例规模与约定】
对于 40% 的评测用例，1 <= n <= 1000。
对于 80% 的评测用例，1 <= n <= 100000。
对于所有评测用例，1 <= n <= 1000000。

思路 O(kN)

迭代1~n
	转换为字符串
	迭代字符串的每一位，判断是否满足要求

参考代码

import java.util.Scanner;

public class _05 {
    static Scanner sc = new Scanner(System.in);
	public static void main(String[] args) {
        while (true)//死循环为测试用
            work();
    }
    static void work() {    
        int n = sc.nextInt();
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            String s = "" + i;
            boolean flag = true;
            for (int j = 1; j < s.length(); ++j) {
                if (s.charAt(j - 1) > s.charAt(j)) {
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
            if (flag)
                ans++;
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

第六题 递增三元组

题目

【问题描述】
在数列 a[1], a[2], …, a[n] 中，如果对于下标 i, j, k 满足 0<i<j<k<n+1 且 a[i]<a[j]<a[k]，则称 a[i], a[j], a[k] 为一组递增三元组，a[j]为递增三元组的中心。
给定一个数列，请问数列中有多少个元素可能是递增三元组的中心。
【输入格式】
输入的第一行包含一个整数 n。
第二行包含 n 个整数 a[1], a[2], …, a[n]，相邻的整数间用空格分隔，表示给定的数列。
【输出格式】
输出一行包含一个整数，表示答案。
【样例输入】
5
1 2 5 3 5
【样例输出】
2
【样例说明】
a[2] 和 a[4] 可能是三元组的中心。
【评测用例规模与约定】
对于 50% 的评测用例，2 <= n <= 100，0 <= 数列中的数 <= 1000。
对于所有评测用例，2 <= n <= 1000，0 <= 数列中的数 <= 10000。

思路 O(N^2)

枚举每个元素
	该元素与前面的元素比较，找到小的即可
	该元素与后面的元素比较，找到大的即可
	上面两项为真，即说明当前元素可以作为三元组的中心

O(N^2)，因为N最大为1000，所以1秒内可以解决战斗。

参考代码

import java.util.Scanner;

public class _06 {
    static Scanner sc = new Scanner(System.in);

    public static void main(String[] args) {
        while (true)//死循环为测试用
            work();
    }

    static void work() {
        int n, ans = 0;
        n = sc.nextInt();
        int[] data = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            data[i] = sc.nextInt();
        }
        for (int j = 1; j < n - 1; ++j) {
            int hasSmall = 0;
            for (int i = 0; i < j; ++i) {
                if (data[i] < data[j]) {
                    hasSmall = 1;
                    break;
                }
            }
            int hasBig = 0;
            for (int k = j + 1; k < n; ++k) {
                if (data[j] < data[k]) {
                    hasBig = 1;
                    break;
                }
            }
            if ((hasSmall & hasBig) == 1)
                ans++;
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

第七题 音节判断

题目

【问题描述】
小明对类似于 hello 这种单词非常感兴趣，这种单词可以正好分为四段，第一段由一个或多个辅音字母组成，第二段由一个或多个元音字母组成，第三段由一个或多个辅音字母组成，第四段由一个或多个元音字母组成。
给定一个单词，请判断这个单词是否也是这种单词，如果是请输出yes，否则请输出no。
元音字母包括 a, e, i, o, u，共五个，其他均为辅音字母。
【输入格式】
输入一行，包含一个单词，单词中只包含小写英文字母。
【输出格式】
输出答案，或者为yes，或者为no。
【样例输入】
lanqiao
【样例输出】
yes
【样例输入】
world
【样例输出】
no
【评测用例规模与约定】
对于所有评测用例，单词中的字母个数不超过100。

思路1

正则表达式

参考代码1

import java.util.Scanner;
import java.util.regex.Matcher;
import java.util.regex.Pattern;

public class _07 {
    static Pattern p = Pattern.compile("[^aeiou]+[aeiou]+[^aeiou]+[aeiou]+");
    static Scanner sc = new Scanner(System.in);

    public static void main(String[] args) {
        while (true) { //死循环是为了测试
            if (work())
                System.out.println("yes");
            else
                System.out.println("no");
        }
    }

    static boolean work() {
        String word = sc.nextLine();
        Matcher m = p.matcher(word);
        return m.matches();
    }
}

思路2

将单词的辅音标记为0，元音标记为1，那么符合要求的单词形态为0+ 1+ 0+ 1

在限定开头必须为0，最后必须为1的情况下，01交替为3次，即前后元素相加结果为1的次数必须为3

参考代码2

import java.util.Scanner;

public class _07_2 {
    static Scanner sc = new Scanner(System.in);

    public static void main(String[] args) {
        while (true) { //死循环是为了测试
            if (work())
                System.out.println("yes");
            else
                System.out.println("no");
        }
    }

    static boolean isYuan(char c) {
        return c == 'a' || c == 'e' || c == 'i' || c == 'o' || c == 'u';
    }

    static boolean work() {
        String word = sc.nextLine();
        int size = word.length();
        if (size < 4)
            return false;
        if (isYuan(word.charAt(0)) || !isYuan(word.charAt(size - 1)))
            return false;
        int[] h = new int[size];
        for (int i = 0; i < size; ++i) {
            if (isYuan(word.charAt(i)))
                h[i] = 1;
            else
                h[i] = 0;
        }
        int cnt = 0;
        for (int i = 1; i < size; ++i) {
            if (h[i - 1] + h[i] == 1) cnt++;
        }
        return cnt == 3;
    }
}

第八题 长草

题目

【问题描述】
小明有一块空地，他将这块空地划分为 n 行 m 列的小块，每行和每列的长度都为 1。
小明选了其中的一些小块空地，种上了草，其他小块仍然保持是空地。
这些草长得很快，每个月，草都会向外长出一些，如果一个小块种了草，则它将向自己的上、下、左、右四小块空地扩展，这四小块空地都将变为有草的小块。
请告诉小明，k 个月后空地上哪些地方有草。
【输入格式】
输入的第一行包含两个整数 n, m。
接下来 n 行，每行包含 m 个字母，表示初始的空地状态，字母之间没有空格。如果为小数点，表示为空地，如果字母为 g，表示种了草。
接下来包含一个整数 k。
【输出格式】
输出 n 行，每行包含 m 个字母，表示 k 个月后空地的状态。如果为小数点，表示为空地，如果字母为 g，表示长了草。
【样例输入】
4 5
.g...
.....
..g..
.....
2
【样例输出】
gggg.
gggg.
ggggg
.ggg.
【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，2 <= n, m <= 20。
对于 70% 的评测用例，2 <= n, m <= 100。
对于所有评测用例，2 <= n, m <= 1000，1 <= k <= 1000。

思路 O(N*M)

典型的bfs，基本是个模板题。时间复杂度最多为O(N*M)。

参考代码

import java.io.*;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Scanner;

public class _08 {
    static final int[] dx = {1, 0, -1, 0};
    static final int[] dy = {0, 1, 0, -1};
    static Scanner sc ;
    static int[][] vis = new int[1000][1000];
    static int N, M, K;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        long now = System.currentTimeMillis();
        //System.setIn(new FileInputStream(new File("***.in")));
        //System.setOut(new PrintStream(new File("***.out")));
        sc = new Scanner(System.in);
        N = sc.nextInt();
        M = sc.nextInt();
        sc.nextLine();
        LinkedList<Block> q = new LinkedList<Block>();
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            String line = sc.nextLine();
            for (int j = 0; j < M; j++) {
                if (line.charAt(j) == 'g') {
                    q.addLast(new Block(i, j, 0));
                    vis[i][j] = 1;
                }
            }
        }
        K = sc.nextInt();

        while (!q.isEmpty()) {
            Block b = q.removeFirst();
            int month = b.month;
            if (month < K) {
                for (int i = 0; i <= 3; i++) {
                    int nx = b.i + dx[i];
                    int ny = b.j + dy[i];
                    if (0 <= nx && nx < N && 0 <= ny && ny < M && vis[nx][ny] == 0) {
                        vis[nx][ny] = 1;
                        q.addLast(new Block(nx, ny, month + 1));
                    }
                }
            }
        }
        BufferedWriter writer = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j < M; j++) {
                if (vis[i][j] == 1) writer.write('g');
                else writer.write('.');
            }
            writer.write('\n');
        }
        writer.flush();
        System.err.println(System.currentTimeMillis()-now);
    }

    //草地上的一块
    private static class Block {
        int i;
        int j;
        int month;

        public Block(int i, int j, int month) {
            this.i = i;
            this.j = j;
            this.month = month;
        }
    }

}

第九题 序列计数

题目

【问题描述】
小明想知道，满足以下条件的正整数序列的数量：
1. 第一项为 n；
2. 第二项不超过 n；
3. 从第三项开始，每一项小于前两项的差的绝对值。
请计算，对于给定的 n，有多少种满足条件的序列。
【输入格式】
输入一行包含一个整数 n。
【输出格式】
输出一个整数，表示答案。答案可能很大，请输出答案除以10000的余数。
【样例输入】
4
【样例输出】
7
【样例说明】
以下是满足条件的序列：
4 1
4 1 1
4 1 2
4 2
4 2 1
4 3
4 4
【评测用例规模与约定】
对于 20% 的评测用例，1 <= n <= 5；
对于 50% 的评测用例，1 <= n <= 10；
对于 80% 的评测用例，1 <= n <= 100；
对于所有评测用例，1 <= n <= 1000。

思路：记忆型递归 O(N^3)

题干第三点，是一个递归定义，可以得到递归式：

f(pre,cur) = f(cur,1) + f(cur,2) + ... +f(cur,abs(pre-cur)-1) + 1
pre表示前一个数，cur代表当前的数，选定之后，序列种数等于以cur为前序，以1到abs-1为当前的序列数的总和再加1.
如f(5,2) = f(2,1)+f(2,2).

但是暴力递归的复杂度是指数级，输入1000时，实测运行时间为1000~2000ms；

基本的优化方案是加状态记忆：

参考代码：记忆型递归

import java.util.Scanner;

public class _09_01 {
    static final int MOD = 10000;
    static int N;
    static long ans;
    static long[][] mem = new long[1001][1000];
    static Scanner sc;

    static long dfs(int pre, int cur) {
        // 询问状态
        if (mem[pre][cur] != 0)
            return mem[pre][cur];
        long ans = 1;
        for (int j = 1; j < Math.abs(pre - cur); j++) {
            ans = (ans + dfs(cur, j)) % MOD;
        }
        mem[pre][cur] = ans;
        return ans;
    }

    static void work() {
        ans = 0;
        N = sc.nextInt();
		long ago = System.currentTimeMillis();
        //    f(pre,cur) = sum(f(cur,_new))|_new from 1 to abs(pre-cur)-1
        for (int x = 1; x <= N; ++x) ans = (ans + dfs(N, x)) % MOD;
        System.out.println(ans);
		System.err.println(System.currentTimeMillis() - ago);
    }

    public static void main(String[] args) {
        sc = new Scanner(System.in);
        while (true) {
            work();  
        }
    }
}	

进一步优化

至此，能通过80%的数据（在1000ms限制下）；

解空间是N的平方（详细为N*N）表格，但是每次都要循环加总，所以成了N的立方，在同样的解空间下，避免循环加总，即可优化到N的平方

重新考虑状态的转移：

如果我们用f(i,j)表示前一个数是i，当前数是1到j的合法序列的个数；有f(i,j) = 1 + f(i,j-1) + f(j,abs(i-j)-1)即分为两个部分1）i作为前一个数，从1_{j-1为当前数的合法序列的个数已经计算好，2）求以j为尾数，后面选择1}abs(i-j)-1的合法序列的个数。

如 f(10,5)=f(10,4)+f(5,4);而不是枚举1到5；这样每次解答树只展开两个节点，相当于减少一层循环，虽然解答树的层次还是很深，但是由于记忆的存在，解空间仍然是N的平方。可在100ms内解决。

参考代码：

import java.util.Scanner;

public class _09_02 {
    static final int MOD = 10000;
    static int N;
    static long ans;
    static long[][] mem = new long[1001][1000];
    static Scanner sc;

    static long dfs(int pre, int cur) {
        if (cur <= 0) return 0;
        // 询问状态
        if (mem[pre][cur] != 0)
            return mem[pre][cur];
        mem[pre][cur] = (1 + dfs(pre, cur - 1) + dfs(cur, Math.abs(pre - cur) - 1)) % MOD;
        return mem[pre][cur];
    }

    static void work() {
        ans = 0;
        N = sc.nextInt();
        long ago = System.currentTimeMillis();
        System.out.println(dfs(N, N));
        System.err.println(System.currentTimeMillis() - ago);
    }

    public static void main(String[] args) {
        sc = new Scanner(System.in);
        while (true) {
            work();
        }
    }
}

第十题 晚会节目单

题目

【问题描述】
小明要组织一台晚会，总共准备了 n 个节目。然后晚会的时间有限，他只能最终选择其中的 m 个节目。
这 n 个节目是按照小明设想的顺序给定的，顺序不能改变。
小明发现，观众对于晚会的喜欢程度与前几个节目的好看程度有非常大的关系，他希望选出的第一个节目尽可能好看，在此前提下希望第二个节目尽可能好看，依次类推。
小明给每个节目定义了一个好看值，请你帮助小明选择出 m 个节目，满足他的要求。
【输入格式】
输入的第一行包含两个整数 n, m ，表示节目的数量和要选择的数量。
第二行包含 n 个整数，依次为每个节目的好看值。
【输出格式】
输出一行包含 m 个整数，为选出的节目的好看值。
【样例输入】
5 3
3 1 2 5 4
【样例输出】
3 5 4
【样例说明】
选择了第1, 4, 5个节目。
【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 20；
对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 100；
对于所有评测用例，1 <= n <= 100000，0 <= 节目的好看值 <= 100000。

错误思路

如果用两次排序求解，那就错了。因为并不是要选出的方案的好看值总和最大，而是要从前往后尽量好看。

思路 O(N^2)

此题关键在于“第一个节目尽可能好看”并希望“第二个节目尽可能好看”……那么我们选择的第一节目就是max(g[0]~g[n-m])闭区间，要选择的第二个节目是max(g[lastMax+1],g[n-m+1])及从上一个节目往下到n-m+1这个区间里面选最好看的，直到剩下的必须全部选择。

算法用尺取法，双指针移动。理论上的复杂度是O(M*(N-M))，极端情况是M=N/2，整体达到(N^2)/2。如果输入数据为：

100000 50000
100000 99999 ...

实测运行时间为：10秒以上

参考代码

import java.io.BufferedWriter;
import java.io.IOException;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.util.Scanner;

public class _10_1 {
    public static Scanner sc = new Scanner(System.in);
    public static BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
    static int N, M;

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        N = sc.nextInt();
        M = sc.nextInt();
        int[] games = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            games[i] = sc.nextInt();
        }
        int pos_max = 0, pos_1 = 0, pos_2 = N - M;
        while (pos_1 < pos_2 && pos_2 < N) {
            while (pos_1 < pos_2)
                if (games[++pos_1] > games[pos_max]) pos_max = pos_1;
            bw.write(games[pos_max] + " ");
            pos_1 = pos_max + 1;
            pos_2++;
            pos_max = pos_1;
        }
        while (pos_2 != N) {
            bw.write(games[pos_2++] + " ");
        }
        bw.write('\n');
        bw.flush();
    }
}

优化：区间最值查询 O(NlogN)

while (pos_1 < pos_2)
	if (games[++pos_1] > games[pos_max])pos_max = pos_1;

这一段代码是区间内查询最大值，反复多次，且数据是静态的，所以选择ST做RMQ。

f[i][j]表示以 i 为起点，连续 2^j 个数中的最大值（的下标）；

转移方程就是：f[i][j] = data[f[i][j-1]] >= data[f[i+pow_2(j-1)][j-1]]?f[i][j-1]:f[i+pow_2(j-1)][j-1]; 注：比较原始数据，记录下标

由于预处理是O(nlogn)，M次查询是O(M)，每次查询是O(1)，所以整体复杂度为O(nlogn)。

下列代码实测运行时间100ms以内

参考代码

import java.io.*;
import java.util.Scanner;

public class _10_2 {
    public static Scanner sc;
    public static BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
    static int N, M;
    private static int[] data;

    /*===st rmq begin===*/
    private static int[][] st;
    private static int[] Log;

    private static int pow_2(int x) {
        return 1 << x;
    }

    private static void initLog() {
        Log = new int[N + 1];
        Log[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            Log[i] = Log[i / 2] + 1;
        }
    }

    private static void initSt() {
        st = new int[N][Log[N]+1];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            st[i][0] = i;//注意此处记录索引
        }
        for (int j = 1; pow_2(j) < N; j++) {
            for (int i = 0; i + pow_2(j - 1) < N; i++) {
                int index1 = st[i][j - 1];
                int index2 = st[i + pow_2(j - 1)][j - 1];
                st[i][j] = data[index1] > data[index2] ? index1 : index2;
            }
        }
    }

    private static int query(int l, int r) {
        int len = r - l + 1;
        int k = Log[len];

        int index1 = st[l][k];
        int index2 = st[r - pow_2(k) + 1][k];

        return data[index1] > data[index2] ? index1 : index2;
    }
    /*===st rmq end===*/

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        long ago = System.currentTimeMillis();
        System.setIn(new FileInputStream(new File("E:\\data\\my10_1.in")));
        sc = new Scanner(System.in);
        N = sc.nextInt();
        M = sc.nextInt();
        data = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            data[i] = sc.nextInt();
        }
//        初始化st数据
        initLog();
        initSt();
        int pos_max = 0, pos_1 = 0, pos_2 = N - M;
        while (pos_1 < pos_2 && pos_2 < N) {
//            while (pos_1 < pos_2)
//                if (data[++pos_1] > data[pos_max]) pos_max = pos_1;
            pos_max = query(pos_1, pos_2);
            bw.write(data[pos_max] + " ");
            pos_1 = pos_max + 1;
            pos_2++;
//            pos_max = pos_1;
        }
        while (pos_2 != N) {
            bw.write(data[pos_2++] + " ");
        }
        bw.write('\n');
        bw.flush();
        System.err.println(System.currentTimeMillis() - ago);
    }
}