2020年蓝桥杯模拟赛解题报告（Python真香）

第一题 单位变换

题目

【问题描述】
在计算机存储中，15.125GB是多少MB？
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

思路

1G=1024M

答案

15488

第二题 约数个数

题目

【问题描述】
1200000有多少个约数（只计算正约数）。
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

思路

枚举+检查

参考代码

# 1200000有多少个约数（只计算正约数）。
N = 1200000

if __name__ == '__main__':
    print(len([i for i in range(1, N + 1) if N % i == 0]))
}

答案

96

第三题 叶结点数

题目

【问题描述】
一棵包含有2019个结点的二叉树，最多包含多少个叶结点？
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

思路

n=n0+n1+n2，为使叶子节点数（n0）最多，必须n1最小，设为0，而n0=n2+1

得n2=(2019-1)/2=1009

所以n0=1010

答案

1010

第四题 数字9

题目

【问题描述】
在1至2019中，有多少个数的数位中包含数字9？
注意，有的数中的数位中包含多个9，这个数只算一次。例如，1999这个数包含数字9，在计算时只是算一个数。
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

思路

伪代码

for i from 9  to 2019
	if str(i).contains('9')
		ans++

参考代码：

N = 2019
if __name__ == '__main__':
    ans = len([s for s in [str(i) for i in range(9, N + 1)] if '9' in s])
    print(ans)

答案

544

第五题 数位递增的数

题目

【问题描述】
一个正整数如果任何一个数位不大于右边相邻的数位，则称为一个数位递增的数，例如1135是一个数位递增的数，而1024不是一个数位递增的数。
给定正整数 n，请问在整数 1 至 n 中有多少个数位递增的数？
【输入格式】
输入的第一行包含一个整数 n。
【输出格式】
输出一行包含一个整数，表示答案。
【样例输入】
30
【样例输出】
26
【评测用例规模与约定】
对于 40% 的评测用例，1 <= n <= 1000。
对于 80% 的评测用例，1 <= n <= 100000。
对于所有评测用例，1 <= n <= 1000000。

思路 O(kN)

迭代1~n
	转换为字符串
	迭代字符串的每一位，判断是否满足要求

参考代码

if __name__ == '__main__':
    ans = 0
    n = int(input())
    for s in [str(i) for i in range(1, n + 1)]:
        flag = True
        for j in range(1, len(s)):
            if s[j - 1] > s[j]:
                flag = False
                break
        if flag:
            ans += 1
    print(ans)

第六题 递增三元组

题目

【问题描述】
在数列 a[1], a[2], …, a[n] 中，如果对于下标 i, j, k 满足 0<i<j<k<n+1 且 a[i]<a[j]<a[k]，则称 a[i], a[j], a[k] 为一组递增三元组，a[j]为递增三元组的中心。
给定一个数列，请问数列中有多少个元素可能是递增三元组的中心。
【输入格式】
输入的第一行包含一个整数 n。
第二行包含 n 个整数 a[1], a[2], …, a[n]，相邻的整数间用空格分隔，表示给定的数列。
【输出格式】
输出一行包含一个整数，表示答案。
【样例输入】
5
1 2 5 3 5
【样例输出】
2
【样例说明】
a[2] 和 a[4] 可能是三元组的中心。
【评测用例规模与约定】
对于 50% 的评测用例，2 <= n <= 100，0 <= 数列中的数 <= 1000。
对于所有评测用例，2 <= n <= 1000，0 <= 数列中的数 <= 10000。

思路 O(N^2)

枚举每个元素
	该元素与前面的元素比较，找到小的即可
	该元素与后面的元素比较，找到大的即可
	上面两项为真，即说明当前元素可以作为三元组的中心

O(N^2)，因为N最大为1000，所以1秒内可以解决战斗。

参考代码

if __name__ == '__main__':
    ans = 0
    n = int(input().strip())
    data = [int(x) for x in input().strip().split(' ')]  # 转整数列表

    len1 = len(data)
    for j in range(1, len1 - 1):
        hasSmall = False
        hasBig = False
        for i in range(j):
            if data[i] < data[j]:
                hasSmall = True
                break
        for k in range(j + 1, len1):
            if data[j] < data[k]:
                hasBig = True
                break
        if hasSmall and hasBig:
            ans += 1
    print(ans)

第七题 音节判断

题目

【问题描述】
小明对类似于 hello 这种单词非常感兴趣，这种单词可以正好分为四段，第一段由一个或多个辅音字母组成，第二段由一个或多个元音字母组成，第三段由一个或多个辅音字母组成，第四段由一个或多个元音字母组成。
给定一个单词，请判断这个单词是否也是这种单词，如果是请输出yes，否则请输出no。
元音字母包括 a, e, i, o, u，共五个，其他均为辅音字母。
【输入格式】
输入一行，包含一个单词，单词中只包含小写英文字母。
【输出格式】
输出答案，或者为yes，或者为no。
【样例输入】
lanqiao
【样例输出】
yes
【样例输入】
world
【样例输出】
no
【评测用例规模与约定】
对于所有评测用例，单词中的字母个数不超过100。

解法

将单词的辅音标记为0，元音标记为1，那么符合要求的单词形态为0+ 1+ 0+ 1

在限定开头必须为0，最后必须为1的情况下，01交替为3次，即前后元素相加结果为1的次数必须为3

代码：

if __name__ == '__main__':
    word = input().strip()
    h = [int(c in 'aeiou') for c in word]
    # 首字母不能是元音  尾字母不能是辅音
    if h[0] == 1 or h[-1] == 0:
        print('no')
        exit()
    cnt = len([i for i in range(1, len(h)) if h[i - 1] + h[i] == 1])
    print('yes') if cnt == 3 else print('no')

正则表达式

if __name__ == '__main__':
    word = input().strip()
    import re

    match = re.match('[^aeiou]+[aeiou]+[^aeiou]+[aeiou]+', word)
    print('no') if match == None or match.end() != len(word) else print('yes')

第八题 长草

题目

【问题描述】
小明有一块空地，他将这块空地划分为 n 行 m 列的小块，每行和每列的长度都为 1。
小明选了其中的一些小块空地，种上了草，其他小块仍然保持是空地。
这些草长得很快，每个月，草都会向外长出一些，如果一个小块种了草，则它将向自己的上、下、左、右四小块空地扩展，这四小块空地都将变为有草的小块。
请告诉小明，k 个月后空地上哪些地方有草。
【输入格式】
输入的第一行包含两个整数 n, m。
接下来 n 行，每行包含 m 个字母，表示初始的空地状态，字母之间没有空格。如果为小数点，表示为空地，如果字母为 g，表示种了草。
接下来包含一个整数 k。
【输出格式】
输出 n 行，每行包含 m 个字母，表示 k 个月后空地的状态。如果为小数点，表示为空地，如果字母为 g，表示长了草。
【样例输入】
4 5
.g...
.....
..g..
.....
2
【样例输出】
gggg.
gggg.
ggggg
.ggg.
【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，2 <= n, m <= 20。
对于 70% 的评测用例，2 <= n, m <= 100。
对于所有评测用例，2 <= n, m <= 1000，1 <= k <= 1000。

思路 O(N*M)

典型的bfs，基本是个模板题。时间复杂度最多为O(N*M)。

参考代码

class Block:
    i = 0
    j = 0
    month = 0

    def __init__(self, i, j, month):
        self.i = i
        self.j = j
        self.month = month


dx = (-1, 1, 0, 0)
dy = (0, 0, -1, 1)
if __name__ == '__main__':
    (N, M) = (int(x) for x in input().strip().split(' '))
    data = [input() for _ in range(0, N)]  # 记录原始数据
    ans = [['.'] * M for _ in range(N)]  # 记录答案 # 全部初始化为.
    K = int(input().strip())  # 输入K
    q = [Block(i, j, 0) for i in range(N) for j in range(M) if data[i][j] == 'g']  # bfs的原始队列

    # 模拟队列起始位置
    qBegin = 0

    # 队列操作
    while qBegin < len(q):
        x, y, month = q[qBegin].i, q[qBegin].j, q[qBegin].month
        qBegin += 1
        ans[x][y] = 'g'  # 标记在结果中
        if month < K:
            for (nx, ny) in [(x + _x, y + _y) for (_x, _y) in zip(dx, dy)]:
                if 0 <= nx < N and 0 <= ny < M and ans[nx][ny] == '.':
                    q.append(Block(nx, ny, month + 1))
                    ans[nx][ny] = 'g'

    # 输出
    for i in range(N):
        print(''.join(ans[i]))

第九题 序列计数

题目

【问题描述】
小明想知道，满足以下条件的正整数序列的数量：
1. 第一项为 n；
2. 第二项不超过 n；
3. 从第三项开始，每一项小于前两项的差的绝对值。
请计算，对于给定的 n，有多少种满足条件的序列。
【输入格式】
输入一行包含一个整数 n。
【输出格式】
输出一个整数，表示答案。答案可能很大，请输出答案除以10000的余数。
【样例输入】
4
【样例输出】
7
【样例说明】
以下是满足条件的序列：
4 1
4 1 1
4 1 2
4 2
4 2 1
4 3
4 4
【评测用例规模与约定】
对于 20% 的评测用例，1 <= n <= 5；
对于 50% 的评测用例，1 <= n <= 10；
对于 80% 的评测用例，1 <= n <= 100；
对于所有评测用例，1 <= n <= 1000。

思路：记忆型递归 O(N^3)

题干第三点，是一个递归定义，可以得到递归式：

f(pre,cur) = f(cur,1) + f(cur,2) + ... +f(cur,abs(pre-cur)-1) + 1
pre表示前一个数，cur代表当前的数，选定之后，序列种数等于以cur为前序，以1到abs-1为当前的序列数的总和再加1.
如f(5,2) = f(2,1)+f(2,2).

但是暴力递归的复杂度是指数级

基本的优化方案是加状态记忆：但输入1000时，实测运行时间为1000~2000ms；

进一步优化

至此，能通过80%的数据（在1000ms限制下）；

解空间是N的平方（详细为N*N）表格，但是每次都要循环加总，所以成了N的立方，在同样的解空间下，避免循环加总，即可优化到N的平方

重新考虑状态的转移：

如果我们用f(i,j)表示前一个数是i，当前数是1到j的合法序列的个数；有f(i,j) = 1 + f(i,j-1) + f(j,abs(i-j)-1)即分为两个部分1）i作为前一个数，从1到j-1为当前数的合法序列的个数已经计算好，2）求以j为尾数，后面选择1到abs(i-j)-1的合法序列的个数。

如 f(10,5)=f(10,4)+f(5,4);而不是枚举1到5；这样每次解答树只展开两个节点，相当于减少一层循环，虽然解答树的层次还是很深，但是由于记忆的存在，解空间仍然是N的平方。可在100ms内解决。

参考代码：

import sys

MOD = 10000
mem = [[0] * 1001 for _ in range(1001)]

sys.setrecursionlimit(2000)  # 设置递归层次限制


def dfs(pre, cur):
    if cur <= 0:
        return 0
    if mem[pre][cur] != 0:
        return mem[pre][cur]
    mem[pre][cur] = (1 + dfs(pre, cur - 1) + dfs(cur, abs(pre - cur) - 1)) % MOD
    return mem[pre][cur]


if __name__ == '__main__':
    N = int(input().strip())
    print(dfs(N, N))

第十题 晚会节目单

题目

【问题描述】
小明要组织一台晚会，总共准备了 n 个节目。然后晚会的时间有限，他只能最终选择其中的 m 个节目。
这 n 个节目是按照小明设想的顺序给定的，顺序不能改变。
小明发现，观众对于晚会的喜欢程度与前几个节目的好看程度有非常大的关系，他希望选出的第一个节目尽可能好看，在此前提下希望第二个节目尽可能好看，依次类推。
小明给每个节目定义了一个好看值，请你帮助小明选择出 m 个节目，满足他的要求。
【输入格式】
输入的第一行包含两个整数 n, m ，表示节目的数量和要选择的数量。
第二行包含 n 个整数，依次为每个节目的好看值。
【输出格式】
输出一行包含 m 个整数，为选出的节目的好看值。
【样例输入】
5 3
3 1 2 5 4
【样例输出】
3 5 4
【样例说明】
选择了第1, 4, 5个节目。
【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 20；
对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 100；
对于所有评测用例，1 <= n <= 100000，0 <= 节目的好看值 <= 100000。

错误思路

如果用两次排序求解，那就错了。因为并不是要选出的方案的好看值总和最大，而是要从前往后尽量好看。即选出的M个数字典序最大

思路 O(N^2)

此题关键在于“第一个节目尽可能好看”并希望“第二个节目尽可能好看”……那么我们选择的第一节目就是max(g[0]~g[n-m])闭区间，要选择的第二个节目是max(g[lastMax+1],g[n-m+1])及从上一个节目往下到n-m+1这个区间里面选最好看的，直到剩下的必须全部选择。

算法用尺取法，双指针移动。理论上的复杂度是O(M*(N-M))，极端情况是M=N/2，整体达到(N^2)/2。如果输入数据为：

100000 50000
100000 99999 ...

实测运行时间为：10秒以上

参考代码

if __name__ == '__main__':
    (N, M) = (int(x) for x in input().strip().split(' '))
    data = [int(x) for x in input().strip().split(' ')]
    pos_max, pos_1, pos_2 = 0, 0, N - M
    while pos_1 < pos_2:
        while pos_1 < pos_2:
            pos_1 += 1
            pos_max = pos_1 if data[pos_1] > data[pos_max] else pos_max
        print(data[pos_max], end=' ')
        pos_1, pos_2, pos_max = pos_max + 1, pos_2 + 1, pos_max + 1

    while pos_2 != N:
        print(data[pos_2], end=' ')
        pos_2 += 1
    print()

优化：区间最值查询 O(NlogN)

while (pos_1 < pos_2)
	if (games[++pos_1] > games[pos_max])pos_max = pos_1;

这一段代码是区间内查询最大值，反复多次，且数据是静态的，所以选择ST做RMQ。

f[i][j]表示以 i 为起点，连续 2^j 个数中的最大值（的下标）；

转移方程就是：f[i][j] = data[f[i][j-1]] >= data[f[i+pow_2(j-1)][j-1]]?f[i][j-1]:f[i+pow_2(j-1)][j-1]; 注：比较原始数据，记录下标

由于预处理是O(nlogn)，M次查询是O(M)，每次查询是O(1)，所以整体复杂度为O(nlogn)。

下列代码实测运行时间100ms以内

参考代码

MAX_N = 100010
MAX_POW = 20
N, M = 0, 0
st = [[0] * MAX_POW for _ in range(MAX_N)]
log = [0 for _ in range(MAX_N)]


def initLog():
    log[1] = 0
    for i in range(2, N + 1):
        log[i] = log[i // 2] + 1


def pow_2(x):
    return 1 << x

# NlogN
def initSt(data):
    for i in range(N):
        st[i][0] = i

    for j in range(1, log[N]):
        for i in range(N - pow_2(j - 1)):
            index1, index2 = st[i][j - 1], st[i + pow_2(j - 1)][j - 1]
            st[i][j] = index1 if data[index1] >= data[index2] else index2


def query(data, l, r):
    len = r - l + 1
    k = log[len]
    index1, index2 = st[l][k], st[r - pow_2(k) + 1][k]
    return index1 if data[index1] >= data[index2] else index2


if __name__ == '__main__':
    (N, M) = (int(x) for x in input().strip().split(' '))
    data = [int(x) for x in input().strip().split(' ')]
    initLog()
    initSt(data)
    pos_max, pos_1, pos_2 = 0, 0, N - M
    while pos_1 < pos_2:
        pos_max = query(data, pos_1, pos_2) #logN
        print(data[pos_max], end=' ')
        pos_1, pos_2 = pos_max + 1, pos_2 + 1

    while pos_2 != N:
        print(data[pos_2], end=' ')
        pos_2 += 1
    print()