控制系统状态空间表达式的解(1)——求解线性定常系统零输入响应

将这句话拆分开：
控制系统 状态空间表达式 的 解

就是求解系统：
$\begin{aligned} \dot{x}&=Ax+Bu \qquad x(0)=x_{0}\\ y&=Cx+Du \end{aligned}$
在给定初始条件 $x(0)=x_{0}$和控制输入 $u(t)$共同作用下

状态向量和输出向量的随时间变化的规律 $x(t)$和 $y(t)$

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1.线性系统一定满足叠加原理：

系统在初始状态 $x_0$和控制输入 $u(t)$共同作用下的运动状态 $x(t)$，可以分解为由初始状态 $x_0$和控制输入 $u(t)$分别单独作用产生的运动状态 $x_{0u}(t)$和 $x_{0x}(t)$的叠加，即 ${\color{00a100}x(t)}={\color{9100c9}x_{0u}(t)}+{\color{008b8b}x_{0x}(t)}$

2.零输入响应

定义为只有初始状态作用即 $x_{0} \neq 0$，而无输入作用，即 $u\equiv 0$是系统的状态响应 $x_{0u}(t)$.

零输入响应 $x_{0u}(t)$就是自治方程:
$\dot{x}=Ax, x(0)=x_{0}$
在非平衡初始状态 $x_{0}$作用下的自由解

3.零状态响应

定义为只有输入作用即 $u \not\equiv 0$，而无初始状态作用即 $x_{0}=0$时系统的状态响应 $x_{0x}(t).$

零状态响应 $x_{0x}(t)$就是方程
$\dot{x}=Ax+Bu \qquad x(0)=0$
在平衡初始状态时，输入 $u$激励作用下的强迫运动

4.零输入响应计算

线性定常系统其次状态方程:
$\dot{x}=Ax, x(0)=x_{0}, t \ge 0 \qquad(1)$
的解，即系统的零输入响应 $x_{0u}$为：
$x_{0u}=e^{Ax}x_{0},\qquad t\ge 0$
式中， $e^{At}$为系统矩阵 $A$的矩阵指数函数：
$e^{At}\overset{def}{=}I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+...=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}A^{k}t{^k}$

证明：

令方程 $(1)$的解为系数向量待定的一个幂级数，即：
$x_{0u}(t)=b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}+...=\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}t{^k}\qquad (2)$
其必满足方程 $(1)$，将上式代入方程 $(1)$，可得：
$b_{1}+2b_{2}t^{}+3b_{3}t^{2}+...=A(b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}+...)$
比较可得：
$\begin{aligned} b_{1}&=Ab_{0}\\ b_{2}&=\frac{1}{2}Ab_{1}=\frac{1}{2}A^{2}b_{0} \\ ...\\ b_{k}&=\frac{1}{k!}A^{k}b_{0}\\ ... \end{aligned}$将求得的待定系数，代入式 $(2)$可得：
$x_{0u}(t)=(I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\frac{1}{3!}A^{3}t^{3}...)b_{0}$
有初始条件 $x_{0u}(t)=x_{0}$可得 $b_{0}=x_{0}$，故：
$x_{0u}(t)=(I+At+\frac{1}{2!}A^{2}t^{2}+\frac{1}{3!}A^{3}t^{3}...)x_{0}=e^{At}x_{0}$证毕

5.线性定常系统零输入响应的几点说明

• 如果 $t$取某个固定值，零输入响应就是状态空间中由初始状态 $x_{0}$经线性变换阵 $e^{At}$所导出的一个变换点。系统的自由运动就是由初始状态 $x_{0}$出发，并由各个时刻的变换点 $x(t)$所组成的一条轨线；
• 零输入响应轨线的形态有矩阵指数函数唯一的确定；
• 线性定常系统渐进稳定的充要条件是： $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{At}=0$
  系统渐进稳定的条件是：当 $x\rightarrow +\infty$，自由运动的轨线将趋于系统的平衡状态 $x_{e}=0$，即状态空间的原点
• 求解零输入响应的核心是计算矩阵指数函数 $e^{At}$
• 当 $x(t_{0})=x_{0}, t_{0}\neq0$时，零输入响应表达式更一般的形式: $x_{0u}=e^{A(t-t_{0})}x_{0}\quad t\ge t_{0}$