状态空间表达式的解

一、齐次矩阵微分方程的解

齐次矩阵微分方程 $\dot{x}=Ax$，初始状态给定为 $x(0)=x_0$，则微分方程有唯一解。
$$x(t)=e^{At}{x}_0,t\ge t_0$$

证明：假设解 $x(t)$ 为 $t$ 的矢量幂级数形式

$x(t)=b_0+b_{1}t+b_2{t}^2+\cdots +b_k{t}^k+\cdots$

将其代入微分方程得

$b_1+2b_{2}t+3b_3{t}^2+\cdots +k{b}_k{t}^{k-1}+\cdots =A(b_0+b_{1}t+b_2{t}^2+\cdots +b_k{t}^k+\cdots )$

可得 $b_0=x_0,b_1=A{b}_0,b_2=\frac{1}{2}A{b}_1=\frac{1}{2!}{A}^2{b}_0,\cdots ,b_k=\frac{1}{k!}{A}^k{b}_0$
将其代入幂级数表达式，得到

$x(t)=(I+At+\frac{1}{2!}{A}^2{t}^2+\cdots +\frac{1}{k!}{A}^k{t}^k+\cdots )x_0$

即

$x(t)=e^{At}{x}_0$

二、非齐次矩阵微分方程的解

1、若 $A=\Lambda =\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]$，则 $e^{At}=\Phi (t)=\left[\begin{array}{ccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right]$

2、若 $A$ 可对角化，即 $P^{-1}AP=\Lambda$，则 $e^{At}=\Phi (t)=P\left[\begin{array}{ccc}{e}^{{\lambda }_{1}t}& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & e^{{\lambda }_{n}t}\end{array}\right]P^{-1}$

3、非齐次矩阵微分方程 $\dot{x}=Ax+Bu$，初始状态给定为 $x(0)=x_0$，则微分方程的解为
$$x(t)=\Phi (t)x(t)+{\int }_0^t\Phi (t-\tau )Bu(\tau )d\tau ，式中\Phi (t)=e^{At}$$

$解由两部分组成\{\begin{array}{l}①表示由初始状态引起的自由运动\\ ②表示由控制激励作用引起的强制运动\end{array}$

证明：$\dot{x}-Ax=Bu$ 两边同时左乘 $e^{-At}$
即

$e^{-At}[\dot{x}(t)-Ax(t)]=e^{-At}Bu(t)$
即 $\frac{d}{dt}[e^{-At}x(t)]=e^{-At}Bu(t)$
在 $0\sim t$ 间积分， $e^{-At}x(t)-x_0={\int }_0^t{e}^{-At}Bu(\tau )d\tau$
即 $e^{-At}x(t)=x_0+{\int }_0^t{e}^{-A\tau }Bu(\tau )d\tau$
两边同时左乘 $e^{At}$，则 $\begin{array}{rl}x(t)& =e^{At}{x}_0+{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau \\ x(t)& =\Phi (t)x_0+{\int }_0^t\Phi (t-\tau )Bu(\tau )d\tau \end{array}$