复杂网络分析 01周笔记

01 复杂网络分析概论

• 1.1复杂网络分析在复杂性研究中的地位
• 1.2复杂网络研究的发展历程
• 1.3复杂网络分析案例

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1.1复杂网络分析在复杂性研究中的地位

1. 复杂系统

• 系统中存在的复杂性¹ 从两个维度来看
  a) 系统自由度（系统组成成分的数目）degrees of freedom
  b) 相互作用（线性到非线性的转换）

• 复杂网络是复杂系统的骨架（backbone）

  a) 复杂系统可抽象成一个网络，来反映元素间的相互作用

  b)复杂系统=分解+组合

• 网络分析十分重要 因为网络结构影响功能，功能反过来也影响结构

2. 复杂网络的重要性

• 当研究复杂系统时应该考虑个体之间的关联和作用

• 理解复杂系统的行为可以从理解系统相互作用网络的拓扑结构开始

• 网络拓扑结构的信息是研究系统性质和功能的基础。

• 一句话总结复杂网络的作用：复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法，它关注系统中个体相互关联作用的结构，是理解复杂系统型指和功能的一种途径。

复杂网络是对复杂系统的一种抽象

元素抽象成个体；相互作用抽象成网络中的连边。

3. 复杂网络实例

• 技术网络
  1. WWW
  2. 因特网
  3. 电力网
• 社会网络
  1.科学引文网
  2.科学家合作网
  3.社交网
• 交通运输网络
  1.航空网
  2. 城市公共交通网
  3.道路交通网
• 生物网络²
• 经济系统
  1.投入产出网
  2.国际贸易网
  我们可以利用构建复杂网络的模式对不同领域进行研究。

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1.2复杂网络研究的发展历程

1. 复杂网络研究的历史

1736 欧拉: 哥尼斯堡七桥问题
1950 Erdos,Renyi: 随机图论
1998 Strogatz;1999 Barabasi: 小世界和无标度网络
图论提供了网络研究的基础
网络的结构 ：理解复杂世界的关键

2.复杂网络的兴起

• 计算机技术的发展
  拥有各种网络的数据库,并有可能对大规模的网络进行实证研究
• 普适性发现
  许多实际网络具有相同的定性性质
  且已有的理论不能描述和解释
• 理论研究的发展
  a)小世界网络(Small World Network)，无标度网络(Scale-free Network)
  b)统计物理学的研究手段

3.复杂网络研究 关心的一些问题

• 如何建立复杂网络模型
• 如何定量刻画复杂网络
• 网络是如何发展成现在这种结构的
• 网络特定结构的后果
  网络的拓扑结构——静态集合量及其统计性质
  如何针对网络拓扑结构做统计性质分析
• 从微观上，关注几个统计量度、聚集系数、最短路径、介数、权、相关性
  • 度：节点的一阶邻居数
  • 聚集系数：节点的一节近邻互相连接的情况
  • 最短路径：连接两个节点的变数最少的路径
  • 介数：任意一对节点间最短路径所经过的次数
  • 权：连边的强度
  • 度度相关性：不同度值的节点互相连接的倾向性
  • 社团结构：网络的中观特性，社团内的连边相对紧密，社团间的连边相对稀疏。
  • 结构模型：
    • 规则网络：完全连接、最近邻居连接、星形连接、晶格网、全局耦合网络
    • 随机网络、小世界网络、无标度网络
• 从中观上，网络 聚类分析
  网络的演化性质和机制模型
• 时间演化性质、偏好性的检验
• 小世界、无标度
  网络的结构与功能
• 网络的容错与抗攻击能力
• 网络上的动力学性质

4.ER随机图模型Erdős–Rényi model

1. $N$个节点，每对节点之间的连边概率为 $p$³

• 特征：
  • 连通性 Poisson分布
  • 齐次特征 每个节点大约有相同的连接数
  • 节点数不增加

5.WS小世界网络模型⁴

1. $N$个节点构成环状最近邻耦合网络，每条边以概率 $p$随机重连。
   在最近邻居连接网络的基础之上进行断边重连所形成的。（会形成长程的连接 使得网络性质发生变化。）

• 特征：
  • 齐次性 每个节点有大约相同的连接数
  • 节点不增加

6.无标度网络

• 特征：
  • 连通性：幂指数分布（幂律分布）
  • 非齐次性：很少的节点有很多连接，很多的节点只有很少的连接
  • 节点数增加

7.网络的结构和功能

1. 网络的鲁棒性和抗毁性
2. 网络上的动力学行为和过程
   • 动力系统
   • 传播过程
   • 博弈与其他社会行为

1.3复杂网络分析案例

• 以科学引文网络为例⁵
  • 有向、无权、无环网络
  • 节点：论文
  • 连边：论文间的引用关系
  • 网络中的节点数与连边数随时间动态变化
    邻接矩阵 $A=$( $A$ _$ij$) _{$N$ $\times$ $N$}
  • 若论文 _$i$引用论文 _$j$,则 $A$ _$ij$ $=1$
  • 若论文 _$i$与论文 _$j$不存在引用关系，则 $A$ _$ij$ $=0$
• 基于不同的引文数据构建不同的引文网络⁶
• 静态引文网络的统计特性⁶
  • 度分布
  • 度度相关性
  • 集聚系数
  • 距离
  • 社团结构
    增加了对科学引文网络结构上的认识
• 引文网络的动态特性
  引文网络的社团随时间变化⁷
  论文的平均引用数随时间变化⁸
• 引文网络的演化机制⁹
  引文网络的增长是因为它有复制的机制，基于此机制可以得出来与实际的引文网络性质定性相同的结果。
  →模拟了论文的平均惨老文献数量随时间的演化→进行理论模型和实际结果定性间的一个比较
• 基于引文网络的知识扩散、思想传播
  使用SIR模型模拟引文网络上思想的传播¹⁰
  基于科学引文网 学科领域间知识的流动¹¹
  网络模型提供了新角度/途径来理解一个实际系统

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参考文献

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1. Chialvo D R.Critical brain networks . Physica A,2004, 340(4):756-765. ↩︎

2. Vidal M,Cusick M E, Barabási A L. Interactome networks and human disease[J].Cell,2011,144(6):986-998. ↩︎

3. Erdös, P. & Rényi, A. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 5, 17- 61 (1960) ↩︎

4. Watts D J, Strogatz S H. Collctive dynamics of‘small-world’networks[J].Nature, 1998, 393(6684): 440. ↩︎

5. Physical Review E, 2009, 80(3):037101. ↩︎

6. Scientific Reports, 2014, 4:6496. ↩︎ ↩︎

7. Journal of Informetrics, 2010, 4(3):278-290. ↩︎

8. Physical Review E, 2013, 88(1):012814. ↩︎

9. Phys.Rev E 71(2005)036118. ↩︎

10. Scientific Reports, 2014, 4:6663. ↩︎

11. Nature Physics, 2015, 11(10):791-796. ↩︎